Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Элементы касания в аффинном пространстве.

Чтобы закончить эту главу, мы разовьем некоторые соображения, вытекающие не из прямой геометрии, а из проективной геометрии. Это делается с целью дать уже сейчас некоторые определения и результаты, которые перегрузили бы наше изложение, если бы их ввести позднее. В то же время мы получим здесь примеры элементов касания и многообразий, введенных в предыдущей главе (0, III, 8 и 9).

Для простоты будем оперировать в аффинном пространстве снабженном структурой подгруппы наши рассмотрения легко обобщаются на проективное пространство

Элементы касания можно классифицировать, следуя правилам, которые хотя и менее полны, чем в общем случае, но зато более соответствуют интуиции. Рассмотрим в многообразие

и предположим, что все его точки обыкновенные бесконечного порядка (для определенности) и что его параметризация допустима. Мы видим, что для заданных величины

являются координатами некоторого вектора. Если мы изменим параметризацию, то формулы показывают, что эти векторы преобразуются в другие векторы, содержащиеся в линейном многообразии порожденном векторами так как эти формулы линейны относительно

Многообразие таким образом, инвариантно, оно не зависит от параметризации, зависит только от и от точки Мы имеем, очевидно, Многообразие имеет размерность и если — размерность то и это все, что можно сказать. В общем случае для многообразий размерность многообразия достигает значения когда достаточно велико. Для совокупности многообразий размерности значения для которых это происходит, допускают минимум

Если мы имеем для в точке многообразия то элемент касания называется обыкновенным размерности Если этого нет, то либо для (и для ) - тогда элемент касания называется особым конечного типа, — либо каково бы ни было (причем и тогда он называется особым бесконечного типа и порядка Мы ставим задачу характеризовать многообразия, на которых все элементы касания особые, порядка не более (причем для некоторых элементов порядок касания равен s). Такие многообразия будут называться особыми порядка

а. Случай кривых Пусть кривая V определена вектором Образуем внешние произведения

и пусть

— первое из этих произведений, тождественно равное нулю на

Пусть точка, для которой

Это неравенство имеет место во всей окрестности которую мы и будем рассматривать. В этой окрестности можно допустить, что

При этом имеем

Отсюда выводим равенства вида

где - функции от . Дифференцируя эти равенства, мы получаем последовательно соотношения

В силу (5.2) эта система не имеет другого решения, кроме

Величины являются, таким образом, постоянными, и интегрирование системы (5.3) для дает

где новая постоянная. Кривая расположена в линейном многообразии размерности Но очевидно, что всякая кривая, проведенная в линейном многообразии размерности , будет особой кривой порядка не выше

Особые кривые порядка это те кривые, которые лежат в линейном многообразии размерности но не лежат в линейном многообразии размерности

b. Общий случай. Заметим прежде всего, что многообразие все кривые которого являются особыми порядка (или расположены на линейных многообразиях размерности само лежит на линейном многообразии размерности Действительно, если бы это было не так, мы могли бы найти на точки, которые не принадлежали бы одному линейному многообразию размерности и могли бы провести через них кривую, лежащую на многообразии так, что она, не была бы особой порядка

Установив это, допустим, что особое многообразие порядка Все кривые, лежащие на нем, — особые, порядка Из того, что мы видели, следует, что содержится в линейном многообразии размерности Если бы оно содержалось в линейном многообразии размерности то векторы , а лежали бы все в этом многообразии и было бы особым порядка

Мы получили следующую характеристику особых многообразий порядка это многообразия, которые могут быть погружены в линейное многообразие размерности но не могут быть погружены в линейное многообразие меньшей размерности.

Вернемся к особым элементам касания, определенным условием, что не имеет на многообразии той размерности, которую следовало бы ожидать в общем случае.

Точка кривой, в которой мы имеем особый элемент касания для называется точкой со стационарной касательной (точка перегиба для случая плоских кривых, ). Она определяется равенствами

и для в общем случае таких точек нет. Кривая, все точки которой имеют стационарную касательную, есть прямая. Точка, имеющая особый элемент касания для называется точкой со стационарной соприкасающейся плоскостью; для в общем случае таких точек нет. Кривая, точки которой имеют стационарную соприкасающуюся плоскость, плоская кривая.

Выясним, что собой представляет на поверхности особая точка для . В общем случае пять первых и вторых производных векторов от вектора определяют многообразие пяти измерений для измерений для т. е. или 4. Особыми точками будут те точки, для которых размерность равна 2, 3 или 4 для для или 3 для

Итак, мы имеем один, два или три сорта таких особых точек, в зависимости от того, равно ли или 5. Различия, которые имеются для еще более сложны; такая классификация, в силу ее сложности, почти не представляет интереса.

Единственный интересный случай — это случай, когда размерность многообразия равна двум, т. е. когда

В этом случае точка на поверхности называется точкой уплощения. Мы видим, что в общем случае на поверхности нет таких точек. Для уравнения (5.4) записываются в виде

1
Оглавление
email@scask.ru