5. Элементы касания в аффинном пространстве.

Чтобы закончить эту главу, мы разовьем некоторые соображения, вытекающие не из прямой геометрии, а из проективной геометрии. Это делается с целью дать уже сейчас некоторые определения и результаты, которые перегрузили бы наше изложение, если бы их ввести позднее. В то же время мы получим здесь примеры элементов касания и многообразий, введенных в предыдущей главе (0, III, 8 и 9).

Для простоты будем оперировать в аффинном пространстве снабженном структурой подгруппы наши рассмотрения легко обобщаются на проективное пространство

Элементы касания можно классифицировать, следуя правилам, которые хотя и менее полны, чем в общем случае, но зато более соответствуют интуиции. Рассмотрим в многообразие

и предположим, что все его точки обыкновенные бесконечного порядка (для определенности) и что его параметризация допустима. Мы видим, что для заданных величины

являются координатами некоторого вектора. Если мы изменим параметризацию, то формулы показывают, что эти векторы преобразуются в другие векторы, содержащиеся в линейном многообразии порожденном векторами так как эти формулы линейны относительно

Многообразие таким образом, инвариантно, оно не зависит от параметризации, зависит только от и от точки Мы имеем, очевидно, Многообразие имеет размерность и если — размерность то и это все, что можно сказать. В общем случае для многообразий размерность многообразия достигает значения когда достаточно велико. Для совокупности многообразий размерности значения для которых это происходит, допускают минимум

Если мы имеем для в точке многообразия то элемент касания называется обыкновенным размерности Если этого нет, то либо для (и для ) - тогда элемент касания называется особым конечного типа, — либо каково бы ни было (причем и тогда он называется особым бесконечного типа и порядка Мы ставим задачу характеризовать многообразия, на которых все элементы касания особые, порядка не более (причем для некоторых элементов порядок касания равен s). Такие многообразия будут называться особыми порядка

а. Случай кривых Пусть кривая V определена вектором Образуем внешние произведения

и пусть

— первое из этих произведений, тождественно равное нулю на

Пусть точка, для которой

Это неравенство имеет место во всей окрестности которую мы и будем рассматривать. В этой окрестности можно допустить, что

При этом имеем

Отсюда выводим равенства вида

где - функции от . Дифференцируя эти равенства, мы получаем последовательно соотношения

В силу (5.2) эта система не имеет другого решения, кроме

Величины являются, таким образом, постоянными, и интегрирование системы (5.3) для дает

где новая постоянная. Кривая расположена в линейном многообразии размерности Но очевидно, что всякая кривая, проведенная в линейном многообразии размерности , будет особой кривой порядка не выше

Особые кривые порядка это те кривые, которые лежат в линейном многообразии размерности но не лежат в линейном многообразии размерности

b. Общий случай. Заметим прежде всего, что многообразие все кривые которого являются особыми порядка (или расположены на линейных многообразиях размерности само лежит на линейном многообразии размерности Действительно, если бы это было не так, мы могли бы найти на точки, которые не принадлежали бы одному линейному многообразию размерности и могли бы провести через них кривую, лежащую на многообразии так, что она, не была бы особой порядка

Установив это, допустим, что особое многообразие порядка Все кривые, лежащие на нем, — особые, порядка Из того, что мы видели, следует, что содержится в линейном многообразии размерности Если бы оно содержалось в линейном многообразии размерности то векторы , а лежали бы все в этом многообразии и было бы особым порядка

Мы получили следующую характеристику особых многообразий порядка это многообразия, которые могут быть погружены в линейное многообразие размерности но не могут быть погружены в линейное многообразие меньшей размерности.

Вернемся к особым элементам касания, определенным условием, что не имеет на многообразии той размерности, которую следовало бы ожидать в общем случае.

Точка кривой, в которой мы имеем особый элемент касания для называется точкой со стационарной касательной (точка перегиба для случая плоских кривых, ). Она определяется равенствами

и для в общем случае таких точек нет. Кривая, все точки которой имеют стационарную касательную, есть прямая. Точка, имеющая особый элемент касания для называется точкой со стационарной соприкасающейся плоскостью; для в общем случае таких точек нет. Кривая, точки которой имеют стационарную соприкасающуюся плоскость, плоская кривая.

Выясним, что собой представляет на поверхности особая точка для . В общем случае пять первых и вторых производных векторов от вектора определяют многообразие пяти измерений для измерений для т. е. или 4. Особыми точками будут те точки, для которых размерность равна 2, 3 или 4 для для или 3 для

Итак, мы имеем один, два или три сорта таких особых точек, в зависимости от того, равно ли или 5. Различия, которые имеются для еще более сложны; такая классификация, в силу ее сложности, почти не представляет интереса.

Единственный интересный случай — это случай, когда размерность многообразия равна двум, т. е. когда

В этом случае точка на поверхности называется точкой уплощения. Мы видим, что в общем случае на поверхности нет таких точек. Для уравнения (5.4) записываются в виде