9. Геодезические линии («внешняя» теория).

Пусть две линии без общих точек, нанесенные на поверхности Можно поставить себе задачу: найти на поверхности линию, реализующую кратчайшее расстояние между ; в достаточно общих условиях доказывается, что существует по крайней мере одна такая линия.

Здесь мы будем рассматривать только элементарный вид этой задачи: отыскание линии со стационарным значением интеграла, выражающего длину этой линии.

Пусть С будет такой линией, идущей из точки а линии в точку линии Снабдим сначала поверхность двумя параметрами причем будет криволинейной абсциссой точки линии С и кривая будет пересекать дугу линии С в точке с криволинейной абсциссой всегда можно предположить, что

среди линий встретятся кривые , соответствующие значениям Линии образуют другое семейство координатных линий, причем кривая С соответствует значению (но , вообще говоря, не будет криволинейной абсциссой на линиях этого семейства, кроме линии С).

Длина отрезка представляет собой значение функции

Допуская существование и непрерывность частных производных вектора например до третьего порядка включительно, можно дифференцировать под знаком интеграла и поступать так, как это обыкновенно делается в вариационном исчислении. Замечая, что

— единичный вектор касательной в точке к линии проходящей через эту точку, имеем

откуда

обозначает кривизну и единичный, вектор главной нормали к дуге индексы указывают точки кривой, в которых подсчитываются связанные с ними элементы.

Вводя вариацию параметра X и полагая, как обычно,

имеем

Важно отметить, что эта формула справедлива для любого семейства линий содержащего кривую С при

Будем называть вектор, получаемый из вектора в некоторой, точке кривой поворотом на угол в касательной плоскости; тогда единичный вектор нормали к поверхности обладает тем свойством, что три вектора образуют правый ортогональный триэдр; если мы обозначим через угол вектора с вектором то будем иметь

затем, поскольку

имеем

полагая

эту величину мы будем называть геодезической кривизной линии С в точке окончательно напишем

В этой формуле встречаются только геодезические элементы, за исключением, быть может, скаляра но если, как мы имеем право сделать, мы закрепим точки и примем всюду вдоль линии С, кроме небольшой дуги длины содержащей точку где мы положим

то получим

где означают средние значения, что можно также записать так:

Положим теперь на дуге лежащей внутри дуги и содержащей точку и пусть на дугах причем сумма длин этих дуг бесконечно мала по отношению к стремится тогда к 1, и, предполагая непрерывность кривизны имеем

Из этого равенства получается, что кривизна является геодезическим инвариантом, присоединенным к точке кривой, так как при ее определении мы считали известным только линейный элемент

Формула (9.1) и соображения, которые мы привели, показывают теперь, что, если мы хотим, чтобы длина была стационарной, т. е. чтобы необходимо сначала, чтобы мы имели во всех точках линии С, дающей экстремум: такая линия должна, следовательно, обладать нулевой геодезической кривизной, ее называют геодезической.

Рис. 31.

Записывая теперь

видим, что это условие может быть реализовано либо если и тогда в действительной области линия С будет прямой, либо если т. е. если соприкасающаяся плоскость к кривой все время остается нормальной к поверхности; впрочем, то <же можно сказать о прямых, соприкасающаяся плоскость которых неопределенна. Дифференциальное уравнение геодезических линий будет

это уравнение второго порядка, следовательно, геодезические зависят от двух параметров; вообще говоря, можно, следовательно, найти геодезическую, проходящую через две заданные точки поверхности

Например, геодезические на плоскости будут прямыми, на сфере они будут окружностями больших кругов, на цилиндре — винтовыми линиями цилиндра (1,7) и их вырождениями: прямолинейными образующими и ортогональными сечениями. На сфере, вообще говоря,

через всякую пару точек проходит одна, и только одна, геодезическая, кроме случая двух диаметрально противоположных точек, через которые их проходит бесконечное множество. На цилиндре, ортогональное сечение которого является простой замкнутой кривой через всякую пару точек, не лежащих на одном ортогональном сечении, всегда проходит бесконечное множество геодезических

Вернемся к задаче, поставленной вначале; для того чтобы линия С осуществляла экстремум длины, если мы фиксируем точки на линиях необходимо прежде всего, чтобы С была геодезической, тогда последний член в уравнении (9.2) исчезнет. Варьируя теперь точку а и фиксируя точку мы видим, что должно быть наоборот, варьируя а и фиксируя находим также Между тем и касательные векторы к линиям . и соответственно в точках окончательно, искомая геодезическая должна пересекать ортогонально линии (это условие трансверсальности в рассматриваемой вариационной задаче).