12. Дифференцируемые многообразия.

Основные пространства, с которыми мы будем иметь дело, всегда будут многообразиями удовлетворяющими следующим условиям:

1° Существует покрытие многообразия с помощью конечного или счетного множества открытых множеств гомеоморфных внутренности шара

причем точки множеств отнесены к локальным системам координат

2° Для всякой пары пересекающихся множеств преобразование координат в позволяющее переходить от координат в к координатам в имеет вид

где функции имеют непрерывные частные производные, причем якобиан

отличен от нуля.

В силу известных свойств дифференцируемых функций и функциональных определителей, переход от производится с помощью функций

имеющих также непрерывные производные с якобианом

Определение, таким образом, симметрично относительно .

Непосредственно очевидно, что если произвести, например, в взаимно однозначное преобразование координат

где функции имеют непрерывные частные производные с якобианом

то переход от будет осуществляться с помощью преобразования вида (12.1) с функциями, удовлетворяющими тем же условиям, что и система

Многообразие для которого можно найти покрытие и в каждом из систему локальных координат такую, что выполнены предыдущие условия, называется дифференцируемым многообразием класса 1 (или многообразием класса Если существует покрытие и системы локальных координат такие, что функции кроме того, допускают непрерывные частные производные до порядка то говорят, что многообразие является дифференцируемым класса (или многообразием класса если возможно добиться того, чтобы были аналитическими функциями, то многообразие называется аналитическим (говорят также многообразие класса оставляя в стороне случай, когда имеют частные производные всех порядков и не являются аналитическими). Преобразования вида (12.2), допускаемые в каждом классе, легко определить.

Не известно, будет ли всякое многообразие дифференцируемым; но эта задача выходит за пределы дифференциальной геометрии, многообразия, с которыми в ней имеют дело, всегда предполагаются дифференцируемыми надлежащего класса. Чаще же всего они будут предполагаться аналитическими.