Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров.

Пусть дано семейство поверхностей, существенно зависящих от двух параметров

(т. е. функцию нельзя представить в виде ). Мы называем огибающей этого семейства совокупность поверхностей касающихся всех поверхностей семейства для некоторой окрестности значений например, для — постоянные, из которых последняя положительна) в некоторой точке называемой характеристической точкой на изменяющейся, так же как вместе с

а. Общие результаты. Пусть функция имеет непрерывные частные производные по координатам и параметрам. Мы утверждаем, что в точке огибающей обыкновенной на и имеют место соотношения

Действительно, допустим, что мы, напротив, имеем Из уравнения можно тогда найти X:

Если на параметризация допустима, то X и будут функциями от однако мы временно предположим X функцией трех переменных и Условия касания поверхностей и записываются в виде

что

Итак, X есть функция одного только скажем Это соотношение определяет однопараметрическое семейство поверхностей, выделенное из семейства и поверхность касается только поверхностей этого семейства.

Вне множества особых точек и множества, где частные производные перестают быть непрерывными, огибающую нужно искать в множестве

которое, очевидно, содержит множества (точки или кривые), общие для всех поверхностей

Пусть точка этого множества, такая, что

откуда, в частности, т. е. является обыкновенной точкой поверхности которой она принадлежит. В

окрестности точки можно тогда разрешить систему относительно Мы определим таким образом поверхность параметризованную посредством X и Дифференцируя по этим параметрам, получаем

Эти условия выражают факт касания в точке между поверхностями и при условии, что точка обыкновенная на и параметризация допустима, что будет выполняться, когда векторы с компонентами

не равны нулю и не коллинеарны.

Но дифференцируя уравнения имеем

Для того чтобы вектор не обращался в нуль, достаточно, чтобы и не были бы одновременно нулями. Точно так для того, чтобы вектор не был нулем, достаточно, гчтобы и не были оба нулями. Более того, эти два вектора не будут коллинеарны, если

и это условие влечет за собой два предыдущих. Итак:

Рис. 22.

В окрестности точки множества для которой

система определяет поверхность огибающую поверхностей семейства при этом характеристическая точка будет обыкновенной на и

Можно было бы показать, что на этот раз характеристические точки являются, вообще говоря, пределами точек пересечения трех близких поверхностей:

Если исключить из уравнений то мы получим уравнение которое, вообще говоря, описывает огибающую и геометрическое место особых точек.

Скажем, наконец, несколько слов о том случае, когда тождественно

В этом случае векторы коллинеарны множество сводится к кривой, так как из равенств

следует, например, что х и у являются функциями от (если ).

В обыкновенной точке эта кривая касается поверхностей которые проходят через эту точку и на которых она также является обыкновенной.

Замечания. Если семейство определяется уравнениями

то уравнения, которые нужно присоединить, чтобы найти положение огибающей, таковы:

или

Наконец, если семейство задано вектор-функцией то нужно найти в виде функций от X и так, чтобы векторы

лежали в плоскости, определенной векторами

что сводится к тому, что векторы должны лежать в этой плоскости. Итак, для определения огибающей к уравнению семейства поверхностей следует присоединить уравнения

Примеры. 1° Огибающие плоскостей. Пусть дано семейства плоскостей

причем четыре однородных параметра связаны однородным соотношением

Если тождественно равен нулю, то семейство плоскостей проходит через начало; в аналитической геометрии говорят, что семейство огибает начало. Если не равен тождественно нулю, то мы можем взять и огибающая определится присоединением к уравнению плоскости уравнений

Но согласно формуле Эйлера для однородных функций, обозначая через показатель однородности функции мы имеем

Следовательно,

Окончательно, огибающая будет получена исключением из системы уравнений

Мы получили вновь метод перехода от тангенциальных координат к точечным, излагаемый в аналитической геометрии. Исключение может привести к одному, двум или трем соотношениям между . В первом случае имеем огибающую поверхность; во втором имеем кривую и плоскости, проходящие через обыкновенную точку кривой, проходят через ее касательную (говорят, что они касаются кривой); в третьем случае плоскости проходят через фиксированную точку.

2° Огибающие сфер. Рассмотрим семейство сфер, зависящих от двух параметров и центры которых описывают поверхность Пусть текущая точка. Имеем

Уравнения, которые нужно просоединить для нахождения огибающей, имеют вид

Они представляют плоскости, соответственно нормальные к пересечение которых есть , следовательно, прямая, параллельная нормали к поверхности в точке 5. Итак, имеем две характеристические точки симметричные относительно касательной плоскости в к поверхности Огибающая будет действительной, только если эти точки действительны. Она содержит две полости, которые в аналитическом случае являются, вообще говоря, частями одной аналитической поверхности. Может случиться, что две характеристические точки все время сливаются; тогда» как мы покажем далее, множество центров есть одна из полостей поверхности центров кривизны огибающей.

Когда постоянно, две характеристические точки диаметрально противоположны на сфере и расположены на нормали в к геометрическому месту центров. Мы получаем конфигурацию поверхностей, параллельных

1
Оглавление
email@scask.ru