4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров.

Пусть дано семейство поверхностей, существенно зависящих от двух параметров

(т. е. функцию нельзя представить в виде ). Мы называем огибающей этого семейства совокупность поверхностей касающихся всех поверхностей семейства для некоторой окрестности значений например, для — постоянные, из которых последняя положительна) в некоторой точке называемой характеристической точкой на изменяющейся, так же как вместе с

а. Общие результаты. Пусть функция имеет непрерывные частные производные по координатам и параметрам. Мы утверждаем, что в точке огибающей обыкновенной на и имеют место соотношения

Действительно, допустим, что мы, напротив, имеем Из уравнения можно тогда найти X:

Если на параметризация допустима, то X и будут функциями от однако мы временно предположим X функцией трех переменных и Условия касания поверхностей и записываются в виде

что

Итак, X есть функция одного только скажем Это соотношение определяет однопараметрическое семейство поверхностей, выделенное из семейства и поверхность касается только поверхностей этого семейства.

Вне множества особых точек и множества, где частные производные перестают быть непрерывными, огибающую нужно искать в множестве

которое, очевидно, содержит множества (точки или кривые), общие для всех поверхностей

Пусть точка этого множества, такая, что

откуда, в частности, т. е. является обыкновенной точкой поверхности которой она принадлежит. В

окрестности точки можно тогда разрешить систему относительно Мы определим таким образом поверхность параметризованную посредством X и Дифференцируя по этим параметрам, получаем

Эти условия выражают факт касания в точке между поверхностями и при условии, что точка обыкновенная на и параметризация допустима, что будет выполняться, когда векторы с компонентами

не равны нулю и не коллинеарны.

Но дифференцируя уравнения имеем

Для того чтобы вектор не обращался в нуль, достаточно, чтобы и не были бы одновременно нулями. Точно так для того, чтобы вектор не был нулем, достаточно, гчтобы и не были оба нулями. Более того, эти два вектора не будут коллинеарны, если

и это условие влечет за собой два предыдущих. Итак:

Рис. 22.

В окрестности точки множества для которой

система определяет поверхность огибающую поверхностей семейства при этом характеристическая точка будет обыкновенной на и

Можно было бы показать, что на этот раз характеристические точки являются, вообще говоря, пределами точек пересечения трех близких поверхностей:

Если исключить из уравнений то мы получим уравнение которое, вообще говоря, описывает огибающую и геометрическое место особых точек.

Скажем, наконец, несколько слов о том случае, когда тождественно

В этом случае векторы коллинеарны множество сводится к кривой, так как из равенств

следует, например, что х и у являются функциями от (если ).

В обыкновенной точке эта кривая касается поверхностей которые проходят через эту точку и на которых она также является обыкновенной.

Замечания. Если семейство определяется уравнениями

то уравнения, которые нужно присоединить, чтобы найти положение огибающей, таковы:

или

Наконец, если семейство задано вектор-функцией то нужно найти в виде функций от X и так, чтобы векторы

лежали в плоскости, определенной векторами

что сводится к тому, что векторы должны лежать в этой плоскости. Итак, для определения огибающей к уравнению семейства поверхностей следует присоединить уравнения

Примеры. 1° Огибающие плоскостей. Пусть дано семейства плоскостей

причем четыре однородных параметра связаны однородным соотношением

Если тождественно равен нулю, то семейство плоскостей проходит через начало; в аналитической геометрии говорят, что семейство огибает начало. Если не равен тождественно нулю, то мы можем взять и огибающая определится присоединением к уравнению плоскости уравнений

Но согласно формуле Эйлера для однородных функций, обозначая через показатель однородности функции мы имеем

Следовательно,

Окончательно, огибающая будет получена исключением из системы уравнений

Мы получили вновь метод перехода от тангенциальных координат к точечным, излагаемый в аналитической геометрии. Исключение может привести к одному, двум или трем соотношениям между . В первом случае имеем огибающую поверхность; во втором имеем кривую и плоскости, проходящие через обыкновенную точку кривой, проходят через ее касательную (говорят, что они касаются кривой); в третьем случае плоскости проходят через фиксированную точку.

2° Огибающие сфер. Рассмотрим семейство сфер, зависящих от двух параметров и центры которых описывают поверхность Пусть текущая точка. Имеем

Уравнения, которые нужно просоединить для нахождения огибающей, имеют вид

Они представляют плоскости, соответственно нормальные к пересечение которых есть , следовательно, прямая, параллельная нормали к поверхности в точке 5. Итак, имеем две характеристические точки симметричные относительно касательной плоскости в к поверхности Огибающая будет действительной, только если эти точки действительны. Она содержит две полости, которые в аналитическом случае являются, вообще говоря, частями одной аналитической поверхности. Может случиться, что две характеристические точки все время сливаются; тогда» как мы покажем далее, множество центров есть одна из полостей поверхности центров кривизны огибающей.

Когда постоянно, две характеристические точки диаметрально противоположны на сфере и расположены на нормали в к геометрическому месту центров. Мы получаем конфигурацию поверхностей, параллельных