2. Преобразования касания.

Мы называем преобразованием касания преобразование, ставящее в соответствие одному элементу касания пространства другой элемент касания пространства Е (которое может и совпадать с ) так, что всякое многообразие примыкающх элементов преобразуется снова в многообразие примыкающих элементов.

Преобразование касания, ставящее в соответствие элементу элемент определяется пятью соотношениями

в силу которых уравнение (1.1) должно иметь следствием

Мы предположим, что это преобразование не вырождается, т. е. что существует обратное преобразование в окрестности точки (х, у, z, р, q), где мы будем оперировать, или что

Так как левая часть (2.2) будет после использования формул (2.1) линейной формой относительно дифференциалов пяти координат,

нужно, чтобы мы имели тождество вида

где X есть функция координат, как это следует из соотношений (2.1). X не равно нулю, так как в противном случае все преобразованные элементы были бы примыкающими и составляли бы самое большее многообразие т. е. преобразование было бы вырожденным.

Преобразование касания переводит два многообразия, имеющие общий элемент касания (или бесчисленное множество таких элементов, зависящих от одного или двух параметров), в два многообразия, имеющие общий элемент касания (или бесконечное множество элементов, зависящих от одного или двух параметров).

Совокупность преобразования касания образует, группу преобразований [точно так же, как преобразования образуют группу ].

Исключив функции из трех первых уравнений (2.1), мы получим одно, два или три различных соотношения между называемых направляющими уравнениями преобразования. Мы изучим эти различные случаи.

Первый случай. Продолжение точечных преобразований. В случае, когда мы имеем три уравнения, т. е. не зависят в действительности от эти три уравнения

с

определяют точечное преобразование, которое переводит две кривые или две поверхности, касающиеся друг друга, в две кривые или две поверхности, также касающиеся друг друга. Элементу касания точечного пространства оно ставит в соответствие элемент касания пространства который мы получаем, записывая

Исключая из этих уравнений, мы получаем соотношения, дающие Это будет просто замена переменных и функции, определенная вышестоящими уравнениями. Всякое точечное преобразование определяет, следовательно, преобразование касания, называемое продолжением точечного преобразования.

Второй случай. Преобразования с одним направляющим Уравнением (преобразования первого класса). Если мы получаем

одно направляющее уравнение

то одной точке и множеству плоскостей, которые через нее проходят, соответствуют поверхность и множество ее касательных плоскостей. Поверхности и ее касательным плоскостям соответствует двупараметрическое семейство поверхностей, каждая из которых должна иметь элемент касания, общий с преобразованным многообразием так как поверхность имеет по крайней мере одну общую касательную плоскость с многообразием имеющим одну из ее точек в качестве опоры. Образ поверхности и ее касательных плоскостей есть многообразие которое получается, если взять огибающую поверхностей указанного семейства.

Другими словами, взяв как функцию х и у, к уравнению нужно присоединить уравнения

Начиная рассуждение с рассмотрения точки и множества плоскостей, которые через нее проходят, мы видим также, что нужно присоединить уравнения

Вместе с уравнения и (2.5 должны удовлетворяться при преобразовании и позволяют, вообще говоря, определить его, исходя из Достаточно разрешить их относительно переменных Итак, исходя из одного направляющего уравнения, можно, вообще говоря, определить преобразование касания.

При этом условия такой возможности — это условия, обеспечивающие разрешимость системы [Мы видим, в частности, что должно непременно содержать все переменные, но этого недостаточно, как показывает пример ].

Уравнения и могут быть получены и с аналитической точки зрения. Уравнение должно быть следствием (1.1) и (2.2). Но мы можем написать

откуда

Так как должны исчезнуть в этом равенстве, то мы получаем, что

Если то отсюда мы получаем соотношения (2.5), и вышестоящее равенство дает равенства

Мы утверждаем теперь, что равенство невозможно. Действительно, иначе существовало бы соотношение между которое не было бы отлично от так как это единственное направляющее соотношение; возьмем его, например, в виде

и запишем, что коэффициенты при в выражении равны нулю; получим

Мы имели бы, таким образом, также и тем самым другое соотношение между отличное от предыдущего, что противоречит нашему допущению.

Третий случай. Преобразования с двумя направляющими уравнениями (или второго класса). В случае, когда имеются два направляющих уравнения

точке и множеству плоскостей, через нее проходящих, соответствуют кривая и множество ее касательных плоскостей. Поверхности и ее касательным плоскостям соответствует конгруэнция кривых, каждая из которых должна иметь элемент касания, общий с образом поверхности. Это многообразие состоит из фокальной полости полученной конгруэнции. К уравнению (2.42) нужно

присоединить уравнение

Проведя то же рассуждение, начиная с мы получаем

Это дает пока только четыре уравнения. Чтобы получить последнее уравнение (вместе с двумя предыдущими), мы вернемся к естественной аналитической точке зрения.

Преобразуя, как и выше, уравнения имеем

Если бы две формы в левых частях этих равенств не были бы пропорциональны, мы могли бы найти их линейную комбинацию, содержащую самое большее три дифференциала. Допустим, что мы получили, например, уравнение вида

Заменяя его выражением, мы видим, что так как коэффициенты при должны быть нулями; отсюда следует, что является функцией одних х, у, z и первое из уравнений (2.43), например, можно заменить уравнением

Заменяя его значением во втором уравнении и разрешая его, мы мажем написать эту систему в виде

допуская при этом, что входит существенно.

Переходя к дифференциалам, мы видим, что второе из уравнений (2.6) дает

Приравнивая нулю коэффициенты при имеем

Следовательно, либо тогда будет функцией только и мы приходим к случаю продолжения точечного преобразования, который исключили; либо

Если последнее имеет место, то коэффициенты при должны быть нулями, что дает

Другими словами, линейные формы относительно дифференциалов, получаемые из (2.42) так же как формы (2.6), получались из (2.42), являются пропорциональными. Но так как система (2.42) не может, вообще говоря, быть приведена к виду (2.42), то отсюда следует, что во всех случаях формы (2.6) должны быть пропорциональны. Итак:

Два направляющих уравнения (2.42) порождают, вообще говоря, преобразование касания, получаемое присоединением к этим уравнениям соотношений

Следует добавить, очевидно, предположение, что получаемая таким образом система не является неопределенной.