2. Система Пфаффа. Теорема Фробениуса.

Рассмотрим в открытой окрестности некоторой точки многообразия дифференциальную систему, называемую системой Пфаффа, образованную из линейных дифференциальных форм

которые мы всегда можем предполагать линейно независимыми, допуская, например, что определитель отличен от нуля в окрестности .

Говорят, что -мерное многообразие

будет интегральным многообразием, или интегралом системы (2.1), если после замены и их выражениями в виде функций от получаемых из (2.2), все формы относительно обратятся тождественно в нули

Из этого определения следует, что всякое подмногообразие, содержащееся в интегральном многообразии, само будет интегральным.

Не может существовать интегральное многообразие более чем измерений, так как в точке такого многообразия дифференциалы не могли бы удовлетворять линейно независимым, соотношениям.

Нас будут интересовать исключительно интегральные многообразия размерности и мы будем говорить, что система (2.1) вполне интегрируема, если через каждую точку окрестности проходит единственное -мерное интегральное многообразие. Так как для всякого интегрального многообразия системы (2.1): формы тождественно равны нулю, то внешние дифференциалы этих форм тоже равны нулю. Это сводится тому, что всякое решение системы линейных уравнений (2.1) относительно дифференциалов будет также решением системы так как поскольку система (2.1) вполне интегрируема в окрестности такое решение эффективно представляет вектор линейного многообразия, касательного в точке и интегральному многообразию: проходящему через эту точку.

Присоединив теперь к совокупности (2.1) формы, которые мы будем обозначать тоже через такие, что форм будут линейно независимыми в окрестности и выразив линейно дифференциалы через мы можем написать

Но формы должны обращаться в нуль вместе с формами следовательно, коэффициенты равны нулю для поэтому мы можем сказать:

Чтобы система (2.1) была вполне интегрируема, необходима существование линейных форм таких, что

Эти условия также и достаточны (теорема Фробениуса); прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем несколько замечаний.

1° Всякая замена переменных сохраняет соотношения (2.3).

2° Если придать переменным постоянные значения и положить то система (2.1)

удовлетворяющая условиям (2.3), перейдет в систему, удовлетворяющую аналогичным условиям, которые получаются заменой в (2.3) переменных выбранными значениями, а дифференциалов этих переменных — нулями.

3° Всякая система, алгебраически эквивалентная системе (2.1), удовлетворяет соотношениям вида (2.3), если им удовлетворяет система (2.1).

Действительно, такая система имеет вид

и в силу (1.5)

получив теперь из (2.4)

будем иметь

Переходим теперь к доказательству сформулированного выше результата. Мы видим прежде всего, что система (2.1) вполне интегрируема при как, поскольку система (2.1) разрешима относительно переменных она эквивалентна системе

т. е. системе обыкновенных дифференциальных уравнений; допуская, как обычно, что параметры а удовлетворяют надлежащим условиям (например, что они имеют непрерывные частные производные), мы получим, что через всякую точку окрестности проходит один, только один, интеграл системы (2.1), определяемый первыми интегралами

( произвольные постоянные; ).

Применяя индукцию, предположим, что результат уже доказан для пар таких, что Рассмотрим систему (2.1), удовлетворяющую уравнениям (2.3) и такую, что положим в ней обозначает константу, такую, что в существуют точки с система (2.1)

становится тогда вполне интегрируемой системой с переменными которая допускает различных первых интегралов, скажем

Предполагая теперь (этого всегда можно добиться), что

можно в системе (2.1) заменить переменные выразив их через и оставив все остальные переменные без изменения; система (2.1) будет тогда эквивалентна системе при а это означает, если снова ввести переменные и что система (2.1) эквивалентна системе

где все функции от

Но система (2.10) удовлетворяет условиям (2.3); это дает, если обозначить через линейные дифференциальные формы,

Последнее равенство возможно только при

следовательно, будут функциями только от система будет поэтому системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных

После интегрирования мы получим, следовательно, что система (2.1) эквивалентна системе вида

что и доказывает теорему.

В качестве примера рассмотрим условие, при котором линейная дифференциальная форма со будет полным дифференциалом; для

этого необходимо, чтобы уравнение

было вполне интегрируемо; необходимое условие будет» в силу теоремы Фробениуса, также и достаточным.