6. Конгруэнции кривых.

Конгруэнцией называется семейство кривых, зависящих от двух существенных параметров

Мы сделаем относительно дифференцируемости те же допущения, что и выше.

Элемент поверхности, касающейся всех кривых для некоторой окрестности значений называется элементом фокальной поверхности конгруэнции. Мы ставим себе задачу определить эти элементы. Мы предположим, что нетождественный нуль, так как в противном случае существовало бы соотношение вида уравнения (6.1) имели бы следствием кривые принадлежали бы одной и той же поверхности и задача не представляла бы интереса.

а. Общие результаты. Нетрудно показать, что вне особого множества фокальные поверхности расположены в множестве точек, определенном уравнениями (6.1) и уравнением

Действительно, в противном случае можно разрешить уравнения (6.1) относительно

Далее,

так как кривые имеют по предположению обыкновенные точки в целой окрестности Если, например, то точечное преобразование

переводит в прямые, параллельные следы которых на плоскости покрывают некоторую область. В силу третьей основной теоремы, не существует никакой поверхности, касающейся всех этих прямых, и поэтому нет фокального элемента в окрестности рассматриваемой точки .

Пусть точка, принадлежащая С, в которой удовлетворяются уравнения

причем, кроме того,

откуда

т. e. F - обыкновенная точка на Далее, можно разрешить систему (6.3) в окрестности этой точки и выразить через Для первых частных производных мы получим уравнения

и аналогичную систему для силу (6.4), система (6.5) определяет Кроме того, эти три величины не равны

нулю в общем случае, так как если бы были нулями, то х, у, z не зависели бы от наша точка описывала бы кривую вернемся позднее к этому случаю). Те же заключения справедливы относительно Чтобы уточнить это, допустим, что в рассматриваемой точке

Отсюда следует, что векторы не коллинеарны, так как в противном случае из (6.5) и аналогичной системы по вытекало бы, что

и

Уравнения (6.3) определяют, следовательно, в окрестности точки элемент поверхности для которой обыкновенная точка, а параметризация является допустимой.

Но если параметризована допустимым образом, то ее касательная в точке определяется уравнениями

Можно определить два числа таких, что

Действительно, обращаясь к (6.5) и к аналогичной системе по мы видим, что числа должны удовлетворять уравнениям

Эта система имеет ненулевые решения, в силу условия Из нее определяется отношение и затем одно из уравнений (6.7) позволяет найти и сами числа Уравнения (6.7) показывают, что касательная к кривой лежит в касательной плоскости к поверхности При выполнении условий (6.6) поверхность является фокальной поверхностью конгруэнции. Точка называется фокусом кривой

На поверхности в окрестности точки определено поле касательных направлений, которые в каждой точке касаются кривых Существует, таким образом, вообще говоря, бесчисленное множество семейств кривых, зависящих от одного параметра, выбранных из конгруэнции и имеющих огибающую, расположенную на

Рассматриваемая с этой новой точки зрения проблема ставится следующим образом: выразить нерезв так, чтобы

однопараметрическое семейство, выделяемое таким способом, имело огибающую. Для этого к системе (6.1) нужно добавить систему

Исключение из этой системы приводит к равенству иначе говоря, огибающие расположены на фокальных элементах. Исключение из (6.1) и (6.8) приводит к дифференциальному уравнению

интегрирование которого определит различные семейства (зависящие еще от одного параметра) кривых которые имеют огибающую.

Кривая С принадлежит в общем случае нескольким семействам, и точки, где она касается одной из огибающих, суть ее фокусы. В обычном случае, разобранном выше, число этих семейств равно числу фокусов.

Рассмотрим, например (см. рис. 23), кривую одного из семейств имеющего огибающую

Рис. 23.

Кривая С касается в фокусе расположенном на фокальной поверхности Пусть другой фокус этой кривой, лежащий на фокальной поверхности Когда кривая изменяется, точка изменяется на и точка описывает кривую на эта кривая, вообще говоря, не касается в кривой но лежит на поверхности , описанной таким образом, поверхность И касается всех фокальных поверхностей, отличных от и из того, что мы видели в § 5, следует, что кривая является в общем случае особой линией этой поверхности

Если кривые алгебраические, то уравнения (6.3) являются алгебраическими по На кривой мы имеем конечное число фокусов. При этом, так как уравнения (6.8) линейны по то уравнение (6.9) будет многочленом по Мы будем иметь лишь

конечное число фокальных поверхностей, которые в общем аналитическом случае будут полостями одной и той же аналитической поверхности.

Так, когда прямые, уравнения представляют плоскости, а уравнение представляет поверхность второго порядка. На прямой конгруэнции мы будем иметь, вообще говоря, два фокуса. Если конические сечения, можно взять в качестве уравнение плоскости и в качестве уравнение поверхности второго порядка. Уравнение представляет тогда поверхность третьего порядка, т. е. в общем случае на коническом сечении конгруэнции будет шесть фокусов. В случае окружностей два из них лежат на мнимом круге в бесконечности, который будет двойной полостью фокальной поверхности, выродившейся в кривую, и мы имеем только четыре изменяющихся фокуса.

Наконец, кривые поверхности могут допускать огибающую на что соответствует случаю, когда уравнение (6.9) имеет по крайней мере один особый интеграл. Кривые Скасающиеся являющиеся особыми кривыми конгруэнции, составляют особое семейство, имеющее огибающую, и описывают особую поверхность

Она является, вообще говоря, огибающей поверхностей X, определенных, например, равенством где с — произвольная постоянная. Предполагая, что эти поверхности могут быть допустимым образом параметризованы с помощью мы получаем

и аналогичные уравнения для

Огибающая будет тогда получаться (§ 3, а, конец), если записать

Это приводит к уравнению (6.2), которое реализуется, как мы видели, на фокальных поверхностях, не содержащих кривых но это может иметь место также для что соответствует особому интегралу уравнения (6.9). Тогда имеем Касательная плоскость к огибающей поверхности определена, в силу уже двумя первыми уравнениями (6.10), и аналогичными уравнениями для что доказывает результат.

Кривые А, соответствующие различным поверхностям X, не имеют в общем случае огибающей на соответствующих полостях

Соответствующие точки описывают, вообще говоря, геометрическое место особых точек кривых

Поступая аналогичным образом, мы убеждаемся, что если кривые на имеют огибающую, то кривые опирающиеся на эту огибающую, описывают особую поверхность и соответствующие точки описывают кривую, которая, вообще говоря, есть геометрическое место особых точек кривых

Наконец, не претендуя исчерпать список особых случаев, отметим наиболее часто встречающиеся:

1° Среди кривых некоторые могут быть особыми, в том смысле, что уравнение выполняется в каждой их точке. Фокусы (их конечное число, если алгебраические) суть точки, в которых касаются фокальных поверхностей.

2° Могут существовать особые семейства, имеющие огибающую в особом множестве, вне всякой фокальной поверхности. В этом случае могут существовать точки, через которые проходит бесчисленное множество кривых зависящих от одного параметра.

Замечания. 1° Если кривые заданы в форме то отыскивая функцию от X так, чтобы они имели огибающую, мы приходим к условию

Уравнение фокусов получаем, исходя из этого уравнения, скалярным умножением на Оно записывается в виде

2° Теория конгруэнций кривых близка к теории систем дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной. Кривые играют роль общих интегралов, кривые -роль особых интегралов, зависящих от одного параметра, их огибающие -роль особых интегралов, не зависящих ни от какого параметра.

Ь. Случай вырождения. Может случиться, что исключение X и из (6.3) приводит к двум соотношениям между х, у, z. Это случай, когда из (6.3) следует, что

Мы можем допустить, что (х, у, z), определенные из (6.3), зависят от X, так как если бы они не зависели ни от X, ни от то были бы константами и система (6.3) давала бы три

соотношения между Кривые конгруэнции, принадлежащие некоторой окрестности проходили бы тогда все через одну фиксированную точку.

Уравнения (6.3) определяют в этом случае фокальную кривую уравнения определяют так как, вообще говоря, и будет допустимым параметром в окрестности такой точки. Что касается вектора то он, в силу (6.11), будет коллинеарен предыдущему вектору или нулем.

Координаты (х, у, z) оказываются при этом функциями одной переменной так как

Через точку кривой проходит, таким образом, бесчисленное множество кривых семейства и

Предыдущие отношения тогда равны но уравнения (6.5) показывают также, что эти отношения равны отношениям (6.11), что дает, в частности,

т. е. систему (6.8). Другими словами, а есть первый интеграл уравнения (6.9), и мы получаем семейство поверхностей 2 без интегрирования. На кривой эти поверхности имеют, вообще говоря, коническую точку.

Рис. 24.

Наконец, в случае, когда исключение из (6.3) приводит к трем соотношениям между кривые проходят через фиксированную точку и все однопараметрическое семейство кривых можно рассматривать как допускающее эту точку огибающей.

с. Конгруэнции прямых. Рассмотрим конгруэнцию прямых определенную с помощью векторов

где параметры, параметр, определяющий общую точтку на прямой.

Мы видели, что на прямой конгруэнции имеются в общем случае два фокуса т. е. что прямые конгруэнции представляют собой

в общем случае общие касательные к двум поверхностям геометрическим местам точек соответственно. Мы видели также, что каждая прямая содержится в двух семействах прямых, выделенных из конгруэнции, имеющих огибающую. Это значит, что через прямую конгруэнции проходят две развертывающиеся поверхности и причем первая имеет ребро возврата на в качестве характеристической точки, вторая имеет ребро возврата на в качестве характеристической точки.

Касательные плоскости к поверхностям и вдоль прямой называются фокальными плоскостями, это касательные плоскости к поверхности в точке и к поверхности в точке

Рис. 25.

Условие, для того чтобы однопараметрическое подсемейство прямых имело огибающую, записывается, как мы это показали в § 5, с, в виде

или

где в левой части стоит квадратичная форма по Для значения в фокусах имеем

или

Умножая скалярно на и предполагая, например, что мы получаем уравнение

определяющее фокусы. Фокальные плоскости будут определены векторами где связаны соотношением (6.12).

В случае, когда одна из фокальных поверхностей сводится к кривой, мы получаем без интегрирования одно семейство развертывающихся поверхностей: это конусы, описанные вокруг поверхности вершины которых лежат на Если сводится также к кривой, то развертывающиеся поверхности представляют собой конусы, вершины которых лежат на или на и которые имеют направляющей соответственно или Они известны без интегрирования.

Дуальным преобразованием (например, преобразованием с помощью взаимных поляр) предыдущие случаи переводятся в случай, когда есть развертывающаяся поверхность, или в случай, когда две развертывающиеся поверхности. Одно или два семейства развертывающихся поверхностей конгруэнции находятся тогда без интегрирования: это совокупности прямых конгруэнции, лежащие в касательных плоскостях к развертывающейся поверхности (ребром возврата будет тогда плоская кривая; прямые конгруэнции, расположенные в этой плоскости, будут касательными к этой кривой).

Еще в одном случае два семейства развертывающихся поверхностей получаются без интегрирования: это случай, когда одна из фокальных поверхностей сводится к прямой, другая же является произвольной поверхностью (конгруэнции Кёнигса). Из двух семейств развертывающихся поверхностей одно состоит из плоскостей, проходящих через причем ребра возврата суть сечения поверхности этими плоскостями. Другое семейство состоит из конусов, описанных вокруг вершины которых лежат на

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)