3. Развертывающиеся поверхности.

Остается изучить случай, когда после редукций, приводящих к триэдрам первого порядка, имеет место соотношение

Если то и редукция не может быть продолжена; репер Френе зависит от шести параметров в каждой точке, поверхность есть плоскость. Три первых уравнения перемещений.

триэдра в этом случае имеют вид

и условия интегрируемости будут те же, что и для общего плоского аффинного репера.

Допустим теперь, что а или Заменяя, если нужно, на можно предположить, что Равенства (1.4) дают

— отношение подвергается общему томографическому преобразованию; можно нормировать триэдр, взяв откуда необходимо следует, что Уравнения (1.4) дают тогда и показывают, что с определено только с точностью до множителя. Можно произвести нормирование, взяв если подходящим образом ориентировать триэдр. Отсюда выводим, что

Используя уравнения (1.3), можно написать:

Мы видим, что речь идет о линейчатых поверхностях, так как вдоль линий имеем

Внешнее дифференцирование новых главных компонент дает

откуда получаем уравнения в вариациях

Если задано, то претерпевает линейное преобразование, и можно произвести нормирование, взяв Тогда будет определено с точностью до множителя, и можно определить триэдры порядка 3, положив, кроме того, или — 1. Оставляя в стороне случай, когда который мы изучим позднее, мы видим, что а при замене на меняет знак. Мы нормируем триэдр окончательно, взяв тогда Мы видим, что в Несколько изменяя обозначения, напишем:

С помощью внешнего дифференцирования мы заключаем, что есть инвариант, и что определено с точностью до аддитивной постоянной. Можно произвести нормирование, взяв что влечет за собой равенство мы имеем:

Если исключить случай который мы изучим позднее, то мы видим, что определено с точностью до аддитивной постоянной; можно произвести нормирование, полагая тогда есть инвариант, триэдр Френе будет порядка 5. Обозначая через новый инвариант, можно, наконец, положить

Мы не будем выписывать полностью формулы перемещений триэдра Френе и условия интегрируемости; отметим только, что

откуда видно, что где имеет знак х, есть точный полный дифференциал, скажем

Рассмотрим теперь точку

Формулы перемещений триэдра дают

Итак, точка зависит только от параметра следовательно, она описывает кривую С, касательная к которой имеет направление наша поверхность является развертывающейся и имеет С своим ребром возврата.

Конусы. Если то уравнения (3.4) дают и редукция не может быть продолжена. Триэдры Френе имеют порядок 4, они зависят от одного параметра.

Имеем точка фиксирована, поверхность есть конус с вершиной

Цилиндры. Изучим теперь случай, когда в формулах (3.2) мы имеем откуда Внешнее дифференцирование дает и мы имеем:

Внешним дифференцированием находим Если то редукция не может быть продолжена. В противном случае можно произвести нормирование, взяв что дает Отсюда получаем триэдры порядка 4, которые определены указанными выше соотношениями и равенством

Мы видим, далее, что инвариант, редукция не может быть продолжена, триэдры Френе представляют собой триэдры порядка 4 и зависят от двух параметров, так как остаются две вторичные компоненты Так как то есть инвариантный полный дифференциал, скажем Из уравнения (3.5) получаем, далее, с помощью дифференцирования т. е. есть функция от и можно положить — Отсюда

следует, что

откуда так что есть фиксированное направление, и речь идет о цилиндрах.

Если то триэдры Френе имеют порядок 3, и мы получаем

Система вполне интегрируема и определяет плоские сечения цилиндра соотношениями

Эти соотношения определяют параболы; значит, мы имеем дело с параболическими цилиндрами.