3. Группы Ли. Инфинитезимальные преобразования. Относительные и абсолютные компоненты.

Рассмотрим -параметрическую группу Ли действующую в окрестности точки многообразия (или пространства ); в обозначениях (1,16) эта группа будет определяться уравнениями

с законом композиции

что мы будем также писать короче:

Мы будем изучать группу в окрестности одного из ее преобразований и начнем с окрестности тождественного преобразования, которое, как мы предположим, получается при При преобразовании, близком к тождественному со значениями: параметров точка преобразуется в точку

Эти равенства определяют геометрическое соответствие между векторами аффинного пространства, касательного к многообразии параметров группы в точке и векторами аффинного пространства, касательного к многообразию в точке Если обозначить через это соответствие, то формулы дают правило композиции этих преобразований, называемых бесконечно малыми, или инфинитезимальными, преобразованиями группы; это правило пишется в виде так что преобразованием, обратным к преобразованию будет

Можно иначе объяснить формулы преобразований (3.3), вводя скалярное поле и рассматривая инвариант

где положено

Форма (3.3) получается, как мы видим, заменой в функции переменных через [формула (3.1)], нахождением дифференциала этой функции, причем предполагаются фиксированными, а в окончательном результате параметры полагаются равными нулю; эта формула показывает, что при заданных величины будут компонентами ковариантного вектора в пространстве, касательном к многообразию параметров в точке

Вообще, инфинитезимальным преобразованием называется всякий оператор над функциями имеющими непрерывные первые частные производные, вида

это, следовательно, линейный однородный оператор; всякая линейная комбинация инфинитезимальных преобразований будет инфинитезимальным преобразованием.

Формулы (3.4) дают инфинитезимальных преобразований, линейно независимых (мы в этом убедились), присоединенных к группе (3.1); еще недавно рассмотрение этих преобразований было первой необходимостью в теории групп; но в этой книге мы будем употреблять их не очень часто.

Пусть теперь репер, подвижный репер группы. Преобразованием, переводящим репер в репер будет если его отнести к реперу то оно будет иметь вид Это преобразование близко к единичному; обозначим его через вектор в линейном пространстве, касательном к многообразию параметров в точке этому преобразованию соответствует в силу (3.3) бесконечно малое преобразование вида

где все будут линейными дифференциальными «формами (относительно дифференциалов ), которые называются относительными компонентами репера .

Формы со линейно независимы в каждой точке многообразия параметров, ибо если записать для данного а

что сводится к равенству

то задание дифференциалов позволяет вычислить дифференциалы поскольку дело касается группы; величины можно, следовательно, выбрать произвольно, что и доказывает наше утверждение.

Отсюда следует также, что инфинитезимальные преобразования линейно независимы в том смысле, что никакая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами не может быть равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.

Действительно, если

вдоль кривых, таких, что

где означает дифференциал новой переменной, то остается фиксированным и группа будет зависеть менее чем от параметров.

Вернемся теперь к преобразованиям позволяющим перейти от репера к реперу но отнесенными к реперу мы будем записывать в виде

и будем называть формы абсолютными компонентами репера группы; доказывается, как выше, что они линейно независимы.

Мы сейчас увидим, как можно вычислить абсолютные компоненты репера исходя из относительных компонент.

Полагая имеем (поскольку здесь идет речь о бесконечно малых величинах, удерживаются лишь выражения, линейные относительно дифференциалов)

Это тождество позволяет написать

или, поскольку входят в это равенство симметрично,

Эти формулы позволяют переходить от относительных компонент к абсолютным, и наоборот (в дальнейшем мы будем использовать почти исключительно относительные компоненты).

Вычисление относительных компонент подвижного репера производится следующим образом: полагая

имеем

Отправляясь от (3.1), можно записать это равенство в виде

эту систему разрешают относительно дифференциалов и вносят последние в выражение

которое должно быть выражением типа (3.5); в частности, мы имеем

Абсолютные компоненты вычисляются аналогично, если ввести координаты точки

Заметим, наконец, что если рассматривать неподвижную точку х то ее относительные координаты в репере удовлетворяют равенствам

откуда

Сравнивая это равенство с соотношениями (3.6) и (3.7), получаем

это дифференциальная система, которой удовлетворяют относительные координаты неподвижной точки многообразия