6. Разложимые пространства.

Пусть задано поле симметричных тензоров второго порядка в пространстве с положительно определенной основной формой. Рассмотрим уравнение относительно

Хорошо известная теорема алгебры утверждает, что его корнит действительны. Пусть один из корней. Тогда всякое отличное от нуля решение системы

составлено из контравариантных компонент некоторого вектора. Число линейно независимых решений этой системы равно порядку кратности корня и можно определить линейно независимых решений так, что

и нормировать векторы условием

Пусть два различных корня уравнения (6.1), два решения соответствующих систем (6.2). Имеем

откуда

так что векторы ортогональны.

Окончательно мы можем сказать, что существует действительных решений системы (6.1), различных или совпадающих, и единичных векторов индекс, определяющий объект), образующих ортогональный -эдр в линейном касательном пространстве, причем

Из равенств второй строки следует, как это хорошо известно, поскольку речь идет об ортогональном -эдре,

Умножением на первой строки системы (6.3) получаем

откуда ковариантным дифференцированием, принимая во внимание (6.3), находим, что

и окончательно

Теперь предположим, что в существует стационарное поле симметричных тензоров второго порядка, отличных от произведения на константу, и что такое поле . Тогда

т. е. уравнение (6.1) имеет постоянные корни, не все равные между собой.

Пусть корень кратности уравнения (6.1). Рассмотрим систему уравнений

Имеем

С другой стороны, в силу симметрии фигурных скобок Кристофеля по их нижним индексам

Но из (6.4) и ковариантным дифференцированием второй системы (6.3) получаем, что

откуда

Но ковариантное дифференцирование системы (6.3) дает после преобразований индексов

Умножая эти равенства на и складывая, получаем

Следовательно, если то после изменения обозначений будем иметь

В уравнении (6.6) выражение в скобках в правой части равно, таким образом, нулю для Поэтому достаточно изменять от до и (6.6) выражает тогда тот факт, что система (6.5) вполне интегрируема. Она допускает поэтому независимых решений, скажем,

Пусть теперь Другой корень кратности мы заключаем таким же образом, что система

вполне интегрируема и допускает независимых интегралов

Заметим теперь, что

так как для заданного по крайней мере одна из скобок в правой части равна нулю. Это равенство показывает, что всякая поверхность ортогональна всякой поверхности

Поступая таким же образом с другими корнями уравнения (6.1), мы получаем однопараметрических семейств поверхностей эти семейства образуют системы, соответствующие разным корням уравнения (6.1), причем две поверхности, принадлежащие разным системам, являются ортогональными.

Возьмем эти поверхности в качестве координатных, полагая

Пусть новые коэффициенты основной формы. Они равны нулю в случае, когда поверхности принадлежат разным системам (мы скажем тогда, что индексы принадлежат разным системам).

Если допустить, что уравнение (6.1) имеет три различных корня, то матрица будет иметь вид

Рассматривая систему (6.5), мы видим также, что если принадлежат различным системам, и то же самое верно для

Чтобы упростить запись, предположим, что эта замена уже сделана (это сводится к тому, что мы снимаем черточки и полагаем ). Тогда уравнения (6.3) дают

Но в правой части только члены с индексами, принадлежащими одной и той же системе, могут быть отличны от нуля, и мы имеем если не принадлежат одной системе, если принадлежат системе определенной корнем Запишем тогда, что

Для двух индексов, не принадлежащих одной и той же системе, эти равенства запишутся в силу предыдущих замечаний в виде

откуда мы выводим, что

это дает

и окончательно, если только не принадлежат одной и той же системе

Для принадлежащих одной и той же системе, запишем тогда

Из вышестоящих равенств следует, что коэффициент при равен нулю, если не принадлежит той же системе, что Это значит, что зависит только от переменных системы, которой он принадлежит, и мы можем высказать следующий результат:

Для того чтобы в римановом пространстве с положительно определенной основной формой существовало поле симметричных стационарных тензоров а второго порядка, отличных от произведения основного тензора на константу, необходимо и достаточно, чтобы основная форма могла быть записана в виде.

где

функции переменных формы Тогда а задается формулой

где — константы, из которых по крайней мере две различны (Эйзенхарт). Этот результат можно выразить еще так:

Для того чтобы риманово пространство с положительно определенной основной формой было разложимо, необходимо и достаточно, чтобы существовало стационарное поле симметричных тензоров второго порядка, отличное от произведения основного тензора на константу.

Проблема, состоящая в том, чтобы выяснить, существует ли такое поле, представляет собой проблему алгебры, аналогичную той, которая была решена выше (I, 12, петит). Случай, когда основная форма не определенная, труднее.