16. Проективные связности.

К пространству касательному в некоторой точке к многообразию присоединим бесконечно

удаленную проективную плоскость чтобы получить проективное пространство Мы ставим себе задачу изучить параллельный перенос геометрии этого пространства в линейной связности. Положим и рассмотрим в репер Тогда связность будет задана уравнениями вида

где — линейные дифференциальные формы переменных

Вместо того чтобы нормировать реперы, здесь удобнее пользоваться тем, что репер

совпадает с предыдущим. Этим можно воспользоваться для того, чтобы сократить таблицу Прежде всего заметим, что не может содержать других главных дифференциалов, кроме тех, которые входят в Действительно, пусть, например,

причем не входит в Тогда, заменяя та через мы будем иметь

Выберем теперь таким образом, чтобы Тогда новое не будет больше содержать будет содержать менее дифференциалов, что противоречит предположению, так как геометрическая точка зависит от параметров. Отсюда следует, что формы линейно независимы и что есть их линейная комбинация.

Формула (16.2) и аналогичные формулы показывают, что во всякой точке перемещение репера зависит в действительности только от форм — так как всегда можно выбрать X таким образом, чтобы в одной точке, поскольку представима тогда в форме где известны, когда точка задана.

Рассмотрим теперь изменения репера, сохраняющие точку пусть они имеют вид

Они зависят от параметров; это все проективные преобразования, оставляющие точку фиксированной. Мы запишем их в виде

и определим такие что

так что

Имеем, далее,

в частности,

Если откуда то

отсюда

Поэтому, если мы нормировали связнэсть таким образом, что в заданной точке мы сможем еще выбрать репер так, что Для этого достаточно придать величинам подходящие значения. Можно, с другой стороны, задать произвольно, скажем положить Проективная связность зависит, таким образом, от произвольных линейных дифференциальных форм (слагаемое появляется в силу предыдущих рассмотрений).

Чтобы изучить проективную связность (16.1), вернемся к рассмотрениям § 4 с аналогичными обозначениями. Обходя бесконечно малый цикл, мы видим, что с точностью до бесконечно малых третьего порядка

Но, как мы видели, бесконечно малое перемещение репера дается формулой

Его можно характеризовать внешними формами

Из того, что было сказано в § 4, мы получаем, делая замену типа (16.3') и используя (16.5),

откуда, в частности, наконец,

Написав, далее,

мы видим, что

Свойства пространства зависят от геометрического объекта называемого тензором кривизны и кручения. Понятие тензора употребляется здесь в смысле, который мы сейчас уточним.