ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ. ТЕОРИЯ ПЕРЕНЕСЕНИЯ

Глава I. ПЕРЕНЕСЕНИЕ И СВЯЗНОСТЬ. ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

1. Расслоение и дифференциальная геометрия. Постановка задачи.

Попытаемся выяснить общий характер методов, использованных для решения ранее поставленных задач, с тем чтобы приобрести некую общую точку зрения.

Например, первым объектом дифференциальной геометрии, который мы поставили в соответствие каждой точке поверхности (погруженной в эвклидово, аффинное или проективное пространство), была касательная плоскость, а дальнейшими — элементы касания до порядка, достаточно высокого для того, чтобы иметь возможность характеризовать поверхность. Так как нашей целью было» определение репера Френе, мы ввели в каждой точке другие геометрические элементы: либо определенные прямые касательной плоскости (асимптотические направления, направления кривизны» направления Дарбу), либо элементы, лежащие вне касательной плоскости (метрическая или аффинная нормаль), а также и репер Френе (триортогональный триэдр в эвклидовом случае).

Вернемся к касательной плоскости. Ставя в соответствие каждой точке на ее касательную плоскость и отвлекаясь от отношений инцидентности, которые могут существовать между этими плоскостями в различных точках, а также от факта, что множество этих плоскостей расположено в трехмерном пространстве, мы видим, что множество точек поверхности и этих плоскостей составляет многообразие V четырех измерений, локально представляющее собой топологическое произведение поверхности (два измерения) на плоскость (два измерения).

Мы говорим тогда, что многообразие V расслоено, причем его слои суть плоскости а базисное пространство есть поверхность В топологии, где это понятие важно, учитывается только тот факт, что плоскости гомеоморфны между собой

Для дифференциальной геометрии важен прежде всего тот факт» что слой является центро-аффинной плоскостью. Кроме того, в эвклидовой геометрии мы ввели на ней метрику при помощи тогда как в проективной геометрии мы дополнили слой сделав из него проективную плоскость.

Введение эвклидовой нормали знакомит нас с расслоенным пространством, база которого , а слой — эвклидово пространство трех измерений, в котором, кроме того, взят триортогональный триэдр (образованный двумя направлениями кривизны и нормалью).

Здесь хорошо виден новый аспект наших рассмотрений. Нам следует выразить то, что множество триортогональных триэдров погружено в одно и то же эвклидово пространство трех измерений, что сводится к погружению триортогонального триэдра, связанного с переменной точкой поверхности, в эвклидово пространство (не дентроэвклидово!), связанное с фиксированной точкой Эту проблему мы решили методами инфинитезимального исчисления, т. е. шаг за шагом разрешая ее для двух бесконечно близких точек; этот процесс позволяет переходить из в другую точку кривой, причем формулы Гаусса — Кодацци показывают тогда, что результат зависит только от точки а не от выбранной кривой.

В качестве другого примера возьмем теорию кривых на поверхности (в эвклидовой геометрии), теорию, которую мы построили, исходя из Там слоем была касательная плоскость (не центрированная), и мы связали метрику касательной плоскости в с метрикой касательной плоскости в с помощью параллельного переноса. Но здесь результат зависит от избранной кривой (за исключением того случая, когда поверхности есть линейный элемент плоскости). Рассматривая на касательной плоскости в образ заданной кривой поверхности мы пришли к понятию геодезической кривизны и получили формулу Оссиана Бонне.

После этих предварительных замечаний мы можем поставить общую задачу переноса геометрии вдоль базисного многообразия.

1° Всякой точке базисного многообразия V мы поставим в соответствие слой гомеоморфный многообразию в котором действует группа причем преобразования в определены в репере

2° Пусть фиксированная точка на переменная точка, кривая, идущая из Зададим преобразование ставящее в соответствие реперу репер получающийся из преобразованием группы действующей в

Тогда говорят, что мы перенесли вдоль геометрию, определенную с помощью в слое в геометрию слоя

Множество преобразований определяет то, что называется связностью, тогда как определяет геометрию. Многообразие V называется при этом многообразием со связностью

Мы будем называть здесь кривой непрерывный образ сегмента прямой, удовлетворяющий различным добавочным условиям, уточняемым по мере надобности, таким, как условие существования в каждой точке элемента касания порядка достаточно высокого для

того, чтобы никакая теоретическая трудность не могла бы встретиться; конечно, такая кривая может иметь кратные точки, и некоторые ее части могут проходиться несколько раз.

Важно заметить, что элементы, на которых мы действуем, являются не точками базы V, а кривыми (из них можно было бы образовать пространство бесконечного числа измерений, если ).

Когда т. е. зависит не от а только от точки связность называется плоской, многообразие V со связностью называется тогда голономным пространством относительно данной связности,

В общем случае всякий геометрический объект в слое может быть перенесен на слой преобразованием, переводящим репер в репер в объект, который, как и зависит от . Такой объект называется неголономным . Так как это определение является слишком общим и его было бы неудобно изучать, мы прибавим еще другие предположения.

3° Преобразование непрерывно относительно

Тогда всякой кривой выходящей из и лежащей на V, соответствует в кривая у, выходящая из которую мы назовем ее изображением. Это последнее понятие может быть обобщено если рассмотреть множество кривых таких, что через каждую точку окрестности проходит одна и только одна кривая. Множество образов составляет изображение рассматриваемой окрестности

Наконец, для того чтобы можно было вести инфинитезимальные вычисления, мы сделаем еще следующее предположение.

4° Если изображение всякой кривой имеет в каждой точке элемент касания порядка то оно является в кривой у, имеющей элемент касания порядка Кривые которые мы будем в дальнейшем рассматривать, имеют в каждой своей точке элемент касания порядка

Число определяется в зависимости от потребностей теории. На практике его предполагают достаточно большим для того, чтобы не получилось дополнительных трудностей из-за незнания наименьшего допустимого его значения (предполагают даже чаще всего, что многообразие V аналитическое и что кривые аналитические).

Точке приписывалась выше особая роль в многообразии Избавимся теперь от этого ограничения. Рассмотрим другую точку многообразия V и зададимся раз и навсегда кривой идущей из

Пусть образ репера в слое при отображении Пусть кривая, исходящая из и оканчивающаяся в Реперу и кривой отвечает, скажем, репер и мы имеем

Отождествляя мы условимся говорить, как это естественно, что при переносе вдоль репер переходит в что определяет в точке связность индуцируемую связностью в и кривой Пусть другая кривая, идущая из в связность соответствует кривой т. е. кривой для первой связности. Мы получаем таким образом взаимно однозначное соответствие между кривыми, выходящими из в каждой из этих связностей. Поэтому они существенно не различаются.

Если в качестве взято касательное линейное многообразие в котором действует группа коллинеаций то говорят просто, что многообразие V имеет связность группы О (но не следует терять из вида, что это выражение не определяет полностью связность так как она определена только после задания преобразования В). Ограничиваясь этим случаем, мы рассмотрим многообразия с аффинной метрической или проективной связностью, понимая при этом под, метрической связностью случай, когда касательное линейное пространство (являющееся аффинным) имеет структуру, вводимую подмножеством аффинных преобразований, изоморфным эвклидовой группе (или ее обобщению О, II, 10), и понимая под проективной связностью случай, когда пространство продолжено присоединением некоторого многообразия в бесконечности до проективного пространства.

Пусть тогда координаты точки многообразия в общем случае) — координаты, определяющие репер . До сих пор мы изучали исключительно связности, заданные соотношениями вида

где функции однородны первой степени по и удовлетворяют другим условиям однородности, которые нам незачем развивать, так как мы удовлетворимся изучением случая, когда эти функции содержат

только и имеют по переменным производные до достаточно высокого порядка.

Среди этих связностей чаще всего изучаются — и мы только их и будем рассматривать — линейные связности когда являются линейными формами по

Заметим, что из чисел скажем первых из них, можно взять за координаты точки из Отображение у кривой определяется тогда интегрированием уравнений (1.1).

Наконец, формулы (1.1) дают некоторый аспект связности, но, возможно, не наилучший. Иначе говоря, не исключено, что заменой переменных на V можно найти формулы, аналогичные этим, в которых допускают в совокупности непрерывные частные производные до более высокого порядка, чем исходные функции. Задача определения наилучшего аспекта связности (или наилучшей параметризации) и, в частности, задача, состоящая в том, чтобы узнать, может ли связность быть представлена аналитическими функциями является важной задачей, по поводу которой мы имеем только частные результаты, часто почти очевидные.