6. Определение кривой ее натуральными уравнениями.

Мы покажем, что пространственная кривая определяется с точностью до перемещения заданием ее кривизны и ее кручения как функции дуги, или, как говорят, ее натуральными уравнениями. По правде говоря, этот результат будет частным случаем общей теоремы, полученной нами относительно вложенных многообразий (0, 111,9). Однако небесполезно изучить в этом частном Лучае, как ставится задача интегрирования.

Вернемся к формулам (1.1) и рассмотрим перемещение триортогонального триэдра, зависящее от одного параметра и. Полагая

мы запишем эти формулы в виде

или, обозначая через вектор с координатами называемый скоростью точки и через вектор с координатами

называемый мгновенной угловой скоростью триэдра, в виде

Задача, которую мы хотим решить, есть задача определения движения триэдра по начальным условиям и заданным и Пусть в фиксированной системе координат координаты вектора суть . Система (6.1) дает

С точностью до обозначений эти три системы одинаковы и могут быть записаны в виде

В анализе доказывается, что если непрерывные функции от и, то система имеет единственное решение. Ее общий интеграл линейно зависит от трех параметров. Легко проверить, что если две системы решений, то мы имеем интегрируемые комбинации,

Отсюда следует, что

Мы можем, следовательно, определить таким образом, чтобы для начального значения они были единичными и образовывали триортогональный триэдр.

Тогда все время будем иметь

а это и значит, что векторы остаются единичными и все время образуют триортогональный триэдр.

Присоединяя к системе первый интеграл

можно свести интегрирование этой системы к интегрированию уравнения Риккати.

Действительно, выберем на сфере (6.3) в качестве координатных линий прямолинейные образующие, полагая

что

Тогда дает

Из первой группы соотношений (6.4) имеем

Подставляя эти выражения в предыдущиеруравнения, умножая второе на и складывая с первым, имеем

Если не равен тождественно нулю, то X удовлетворяет уравнению Риккати

и нетрудно убедиться, что это верно и тогда, когда тождественно равен нулю [показав, что одновременно ]. Аналогичный подсчет показывает, что удовлетворяет тому же уравнению.

Замечая, что для действительного триэдра число комплексно сопряжено с X, мы видим, что в действительном случае дело сводится к отысканию двух решений уравнения (6.6), таких, что комплексно сопряжены. Формулы (6.5) дают тогда

Определив и обозначая через координаты точки мы получаем из первого уравнения (6.1)

X, Y, Z определяются квадратурами, которые вводят три произвольные постоянные переноса.

Окончательно мы видим, что движение триэдра определяется начальными условиями и заданными векторами и

Возвращаясь к задаче определения кривой ее натуральными уравнениями, мы видим, что формулы (2.3) являются частным случаем формул (6.1) с векторами вместо причем точка, описывает тогда кривую двигаясь равномерно со скоростью, равной 1. Тогда мы имеем

причем вектор находится в спрямляющей плоскости. Результат, который мы получили, выражается следующей теоремой:

Кривая определяется с точностью до перемещения своими натуральными уравнениями.

Эта теорема заканчивает метрическую теорию пространственных кривых. Из нее следует, что точечные инварианты кривой суть функции от и их производных по криволинейной абсциссе.