Глава III. ДОПОЛНЕНИЯ К АНАЛИЗУ: ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ

1. Внешние дифференциальные формы.

В гл. I (§ 22) мы определили касательное линейное пространство в точке многообразия как центро-афинное пространство определяемое переменными допустимые замены переменных

где дают, действительно,

К различным точкам окрестности рассматриваемой точки многообразия (или к точкам пространства если окрестность достаточно мала, что всегда можно предположить, можно присоединить объекты касательного пространства; тогда в окрестности будет задано поле объектов; таким полем будет, например, поле тензоров компоненты которых в общем случае зависят от точки Мы хотим изучить здесь поля внешних форм, в которых переменными будут дифференциалы внешней дифференциальной формой степени мы будем называть выражение вида

Мы видели что всегда можно принять в качестве коэффициентов компоненты антисимметричного тензора и можно было бы сказать, что понятия, которые мы будем вводить, относятся к полям тензоров этого рода; но формализм внешних дифференциальных форм для нас предпочтительнее.

Удобно говорить, что функция переменных (инвариант, или тензор нулевого порядка) будет дифференциальной формой нулевой степени.

Мы предположим, что коэффициенты имеют непрерывные частные производные до некоторого порядка допустимые замены переменных (1.1) будут тогда класса Порядок в дальнейшем не уточняется: надо предполагать его достаточным для выполнимости операций, которые мы будем описывать, или для теорем существования, на которые мы будем ссылаться.

По определению, мы будем называть внешним дифференциалом формы со форму степени

[если речь идет о функции (дифференциальной форме нулевой степени), то будет дифференциалом этой функции].

Это определение будет действительно полезным только в случае, если мы докажем, что при преобразовании формы в форму посредством (1.1) внешний дифференциал переходит во внешний дифференциал Это следует из нескольких простых замечаний, которые интересны и сами по себе.

Заметим прежде всего, что внешний дифференциал от дифференциала функции равен нулю. Действительно, полагая

мы видим, что

Это можно записать также в форе

Пусть теперь две внешние дифференциальные формы соответственно степеней тогда

Действительно, полагая

получим

откуда, в силу определения (1.3),

ибо, чтобы поместить дифференциал на то место, которое он должен занять во втором члене, надо совершить перестановок и каждая из них будет менять знак.

В качестве частного случая получаем из формулы (1.5), обозначив через а функцию, что

мы видим также, что равенства имеют следствием

Рассмотрим теперь одночленную форму

где все произвольные функции; тогда Действительно, это верно для допустим, что это верно для и положим

тогда можно записать и формула (1.5) даст

Возвращаясь к форме (1.2), мы имеем в силу (1.50, будут ли независимыми переменными или нет,

Это выражение в силу предыдущего результата приводится к виду (1.3), а это и есть то, что мы хотели доказать.

- Наконец, из того, что для каждой формы вида и из очевидной дистрибутивности внешнего дифференцирования по отношению к сложению следует теорема (Пуанкаре): Для каждой внешней дифференциальной формы

Напомним еще следующую формулу, обобщающую хорошо известные формулы Грина и Стокса

где — форма степени означает область размерности ее граница; излагать здесь допущения относительно области и ее границы и условий ориентации неуместно.