4. Тензор конформной кривизны.

Если между двумя римановыми пространствами установлено точечное соответствие, сохраняющее углы, образуемые парами направлений линейного касательного пространства, то это соответствие называется конформным. Если точки этих двух пространств реперированы при помощи одних и тех же координат то, как показывают формулы § 1, их основные формы должны быть пропорциональны, т. е. между мы должны иметь соотношения

(или но можно всегда свести этот случай к предыдущему, заменяя на

Чтобы начать решение этой задачи, мы предположим для определенности, что речь идет об аналитических пространствах и что 2 (так как если , легко показать, что можно всегда привести основную форму к виду ).

Из (4.1) выводим, что

далее,

Из этих равенств, полагая

получаем, что

и, поднимая индекс

Свертыванием получаем, что

откуда

Исключение дает равенство

Заменяя в (4.2) их выражениями (4.5), мы видим, что исчезает, и полагая

должны иметь

Тензор называется тензором конформной кривизны (Г. Вейль); мы имеем, таким образом, следующий результат:

Для того чтобы два римановых пространства находились в конформном соответствии, необходимо, чтобы их тензоры конформной кривизны были равны в соответствующих точках.

Однако это условие не является достаточным. Например, можно показать при помощи довольно длинных вычислений, что тензор конформной кривизны тождественно равен нулю для Из (4.6) легко заключить, что

Для того чтобы некоторое пространство могло быть конформно отображено на плоское пространство необходимр прежде всего, чтобы далее, так как то с помощью (4.5) получаем, что

Умножая на и свертывая, мы получаем вновь соотношение (4.4) с Условия интегрируемости имеют вид

Учитывая, что конформный тензор равен нулю, можно переписать их в виде

Принимая во внимание равенство (1.14), мы имеем, однако, тождественно

Но из (4.6) выводим, что

Принимая во внимание тождество (4.9) и мы выводим отсюда свертыванием, что

Поэтому равенство (4.8) есть следствие равенства нулю для и можно высказать следующий результат (Схоутен):

Для того чтобы существовало конформное отображение риманова пространства размерности на плоское пространство, необходимо и достаточно у чтобы тензор был тождественно равен нулю для а чтобы тензор конформной кривизны был тождественно равен нулю для

Примерами пространств, которые можно отобразить конформно на плоское пространство, являются пространства постоянной кривизны. Это теперь легко проверить, но это также видно из канонической формы их линейного элемента (упражнение 4).