Глава V. ЛИНЕЙЧАТАЯ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

1. Плюккеровы координаты.

После того как в пространстве выбрано начало координат О, ориентированная прямая проходящая через две точки может быть определена при помощи двух векторов ибо если для двух точек имеем

то

т. е. прямая коллинеарна вектору это условие будет достаточно для того, чтобы точка лежала на прямой Чтобы паре векторов соответствовала прямая, необходимо и достаточно, чтобы

так как принимая

имеем и точка будет основанием перпендикуляра, опущенного из начала О на прямую

Совокупность двух векторов и с образует так называемые плюккеровые координаты прямой; они определены с точностью до множителя. Для целей метрической геометрии удобно их нормировать, принимая

и полагать тогда

В качестве второго вектора, определяющего прямую, можно также взять

тогда из приведенной ранее формулы видно, что где обозначает основание перпендикуляра, опущенного из начала О на прямую

Пусть теперь две прямые, определяемые соответственно парами векторов угол между ними определяется скалярным произведением

Другим инвариантом этой системы будет относительный момент V двух прямых: это — величина проекции на прямую момента единичного вектора, расположенного на прямой относительно некоторой точки прямой Чтобы подсчитать его, рассмотрим две точки и на прямой такие, что Момент прямой относительно точки будет величина его проекции на прямую будет, следовательно,

Если в этом выражении заменить соответственно на где обозначают произвольные числа, то оно не изменится; значит, это действительно инвариант, который равен шестикратному объему тетраэдра как показывает определяющая его формула. Принимая за основания перпендикуляров, опущенных из начала О на прямые соответственно, видим, что

принимая теперь за основания общего перпендикуляра к прямым видим, что абсолютное значение этого выражения равно где обозначает кратчайшее расстояние между этими прямыми. Для того чтобы прямые пересекались или были параллельными, необходимо, следовательно, чтобы

Знак выражения V не зависит от порядка, в каком берутся две прямые, но зависит от выбора направления на каждой прямой: он будет положительным, если наблюдатель, находящийся в точке и смотрящий в направлении точки будет видеть точку, пробегающую прямую в направлении от точки к точке поворачивающейся в положительном направлении; он будет отрицательным в противоположном случае. Прямые в пространстве зависят от четырех параметров (два для определения вектора и два для определения перпендикулярного ему вектора Мы будем изучать множества прямых, зависящие от одного, двух или трех параметров, т. е. линейчатые поверхности, конгруэнции или комплексы, которые, таким образом, будут многообразиями одного, двухили трех измерений в пространстве четырех измерений.