8. Кривые, лежащие на поверхности.

Важное значение в геометрии на поверхности, индуцированной аффинным унимодулярным нормализованным репером Френе, имеет введение некоторого линейного элемента который можно рассматривать как квадрат

элемента дуги кривой, лежащей на поверхности, причем само собой разумеется, что это новое понятие не имеет ничего общего ни с обычным элементом дуги, ни с элементом аффинной дуги. Этот задается формулами

Ортогональность двух направлений по отношению к этому означает, что эти направления сопряженны на поверхности.

а. Эллиптический случай. Всякое направление касательной плоскости может быть определено вектором вида

и, если задан вектор такого вида, мы ставим ему в соответствие вектор, направление которого сопряжено предыдущему,

Для изучения кривой, лежащей на поверхности, мы положим

где функция от Из и формулы имеем

Мы возьмем в качестве триэдра Френе в точке некоторой кривой триэдр Тогда из будем иметь

Чтобы в некоторой точке две кривые, имеющие общую касательную, имели также общую соприкасающуюся плоскость, необходимо и достаточно, чтобы у них было одинаково или чтобы они имели одну и ту же геодезическую кривизну.

Можно назвать аффинными геодезическими кривые, для которых соприкасающаяся плоскость содержит аффинную нормаль

к поверхности; не должно, следовательно, содержать что дает

Линии, вдоль которых вектор сохраняет фиксированное направление, суть линии видимых контуров; тогда коллинеарно и поэтому мы имеем

Чтобы видимые контуры были аффинными геодезическими, необходимо и достаточно, чтобы т. е. чтобы поверхность была поверхностью второго порядка.

Наконец, линии, вдоль которых аффинная нормаль описывает развертывающуюся поверхность, или линии аффинной кривизны, определены условием

или

Таких кривых имеется, вообще товоря, два семейства, и через каждую точку поверхности проходит кривая каждого семейства. Положим теперь

Два возможных значения скажем называемые главными радиусами аффинной кривизны поверхности, являются решениями уравнения

Отсюда

Величина называется средней аффинной кривизной поверхности, величина ее полной аффинной кривизной. Вдоль каждой из линий кривизны имеем формулу Олинда Родрига

которая означает, что семейство соответствующих нормалей касается своей огибающей в точке или две соответствующие точки называются главными центрами аффинной кривизны).

Возвращаясь к уравнению (6.1в) квадрики Ли, мы видим, что ее центр имеет абсциссу Таким образом, центр квадрики Ли гармонически сопряжен точке относительно главных центров

кривизны. Объем параллелепипеда, построенного на ее полуосях, равен

Гиперболический случай и линейчатые поверхности. Так как в этом случае произведение меняет знак, то если параметр, определяющий направление касательной плоскости, мы положим для

для

Тогда получаем два сорта формул, аналогичных ; мы напишем только те из них, которые относятся к случаю

Далее можно провести рассмотрения определенных нами специальных кривых, аналогичные предыдущим.

Приложения. 1° Аффинные сферы. На некоторых поверхностях, называемых аффинными сферами, линии кривизны являются неопределенными. На этих поверхностях тождественно

что влечет за собой равенства Уравнения (в эллиптическом случае) показывают тогда, что есть константа. Далее, если то точка фиксирована, т. е. аффинные нормали проходят через фиксированную точку. Обратное также верно.

Если то аффинные нормали остаются параллельными фиксированному направлению, мы имеем несобственные сферы. Поверхности второго порядка являются аффинными сферами или несобственными сферами, поверхности также аффинные сферы, поверхность Кэли несобственная сфера.

2° Не развертывающиеся поверхности с плоскими линиями видимых контуров. Изучим этот вопрос в эллиптическом случае. Записав, что

мы находим, что условие для того, чтобы кривая была плоской, состоит в следующем:

где U обозначает левую часть соотношения (8.2). Принимая во внимание (8.3), можно переписать это уравнение в виде

причем ненаписанные члены образуют тригонометрический полином, содержащий самое большее члены с

Из написанного тождества следует поэтому, что и поверхность должна быть поверхностью второго порядка. Обратное хорошо известно. Другие случаи рассматриваются таким же способом и в итоге можно сформулировать теорему:

Всякая неразвертывающаяся поверхность с плоскими видимыми контурами есть поверхность второго порядка (Машке).

3° Соотношение (8.5) показывает также, что если аффинная геодезическая линия плоская, то она является также линией кривизны,