4. Непрерывные функции.
Пусть 
функция, определенная в топологическом пространстве 
значения которой принадлежат топологическому пространству 
может, впрочем, совпадать с 
Функция называется непрерывной в точке 
если каждой окрестности 
точки 
можно поставить в соответствие окрестность 
такую, что
откуда следует, что 
[или 
]. Иначе говоря, какова бы ни была окрестность V точки 
множество 
будет окрестностью точки 
Если 
и 
-функция, непрерывная в точке 
то 
Действительно, в противном случае существовала бы окрестность V точки не содержащая точек из 
но тогда множество 
будучи окрестностью точки 
не содержало бы ни одной точки из 
что противоречит условию.
Функция 
не являющаяся непрерывной в точке 
называется разрывной.
Функция называется непрерывной на множестве 
если она непрерывна в каждой точке множества 
.
Если отображение 
пространства 
непрерывно в точке 
и отображение 
пространства 
непрерывно в точке 
то результат композиции этих двух отображений 
непрерывен в точке 
Действительно, пусть 
окрестность точки 
тогда 
будет окрестностью точки 
будет окрестностью точки 
Если отображение 
непрерывно в 
то полный прообраз всякого открытого множества пространства 
будет открытым множеством пространства 
так как бсякое открытое множество, будучи окрестностью каждой из своих точек, имеет прообразом множество, обладающее тем же свойством, т. е. открытое множество.
Обратно, если отображение 
таково, что всякое открытое множество пространства 
имеет полным прообразом открытое множество в 
то 
непрерывная функция в 
; действительно, если V — окрестность точки 
то 
содержит открытое множество 
и мы имеем
Но множество 
открыто и содержит 
следовательно, 
есть окрестность точки 
Переходя к дополнениям, можно сказать также, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция 
была непрерывна в 
состоит в том, что полный прообраз всякого замкнутого множества в 
должен быть замкнутым множеством в 
Пусть 
-подмножество пространства 
говорят, что функция 
непрерывна в точке 
на 
эта функция, рассматриваемая только на подпространстве 
непрерывна в 
Все предыдущие понятия и результаты можно переформулировать в терминах относительной топологии.
Рис. 1.
В качестве приложения опишем одну операцию над топологическими пространствами, которой будем часто пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим топологическое пространство 
и допустим, что его точки распределены по классам так, что каждый класс содержит не менее одной точки и каждая точка принадлежит только одному классу. Каждому классу 
содержащему точки 
поставим в соответствие одну, и только одну, точку 
нового пространства С (причем двум различным классам сопоставим две различные точки). Топология в этом пространстве определяется следующим образом: открытым множеством является всякое множество 
прообраз которого 
открыт в 
Аксиомы I и II, как это сразу видно, удовлетворяются, и функция 
непрерывна. В частности, всякая окрестность 
будет содержать открытое множество 
содержащее точку с, полный прообраз которого есть открытое множество, содержащее точки 
из 
Отсюда следует, что всякая окрестность точки с содержит образ объединения некоторых окрестностей 
Говорят, что пространство С получается из пространства 
отождествлением точек внутри каждого класса 
(на рис. 1 каждый класс содержит одну или две точки из 
