22. Группы дифференциальной геометрии.

Мы знаем, что преобразование вида

где функции, имеющие непрерывные первые частные производные в окрестности начала координат, преобразуют взаимно однозначно некоторую окрестность начала в пространстве в другую окрестность если якобиан

отличен от нуля в начале координат (а следовательно, и в некоторой его окрестности).

Комбинируя преобразование (22.1) с преобразованием того же типа

мы получаем снова преобразование того же типа

но, вообще говоря, и эти два множества не совпадают.

Мы не можем поэтому, собственно говоря, сказать, что преобразования (22.1) образуют группу, поскольку нельзя указать окрестность в которой они все определены. Однако можно утверждать, что множества систем (22.1) образуют группу (или просто которая и является основной группой прямой дифференциальной геометрии.

То, что было сказано об окрестности начала, можно повторить относительно окрестности любой другой точки пространства Свойства, которые устанавливаются в прямой геометрии, имеют место в окрестности некоторой точки или, чаще, точки некоторого многообразия причем в общем случае мы не можем точнее определить, где именно (наоборот, мы всегда сможем уточнить это в каждом частном случае).

В многообразии наделенном в каждой точке структурой группы основной локальный объект в точке представляет собой систему дифференциалов которые, если их рассматривать как новые переменные, порождают пространство Замена переменных (22.1) дает

величины могут принимать произвольные значения при условии, что С точностью до обозначений преобразования (22.3) будут аффинными преобразованиями вида (20.1) с параметрам» Пространство с такой структурой называется центро-аффинным пространством это пространство, называют линейным пространством, касательным к многообразию в точке

В качестве другого важного геометрического объекта отметим совокупность первых частных производных инварианта Действительно,

это закон преобразования совокупности которая будет, таким образом геометрическим объектом (§ 17). Можно сузить группу (22.1), потребовав дополнительно, чтобы имели непрерывные частные производные до порядка включительно; мы

получаем таким образом группу в которой основными геометрическими объектами в точке многообразия являются совокупности дифференциалов

Такая совокупность называется элементом касания порядка в рассматриваемой точке.

Формулы (22.3), если их продифференцировать достаточное число раз, показывают сразу, что эти совокупности будут геометрическими объектами; но формулы получаются сложные, и интерпретация их не так непосредственно очевидна, как для случая

Инвариант дает нам также для объекты

при условии, что эти производные существуют и непрерывны; это следует из формул преобразования переменных.

Варной подгруппой, еще более узкой, является аналитическая подгруппа она соответствует случаю, когда аналитичны в окрестности рассматриваемой точки. Объектами этой группы будут все объекты группы для любого