3. Конформное отображение одной поверхности на другую. Изотермические координаты.

Рассмотрим две поверхности мы поставим задачу: существует ли такре точечное отображение поверхности на поверхность при котором минимальные линии соответствуют друг, другу.

Предположим, что отнесены к минимальным линиям, так что

Мы видим, что имеются две группы решений: либо линии поверхности будут отвечать соответственно линиям поверхности либо они будут отвечать соответственно линиям

Первая группа решений будет задана, если взять в качестве их функцию одного переменного а в качестве функцию одного переменного

Выбирая новые параметры мы поставим в соответствие точке поверхности точку на поверхности или, угодно, мы можем положить и будем писать для поверхности

Поскольку имеем очевидно, что

т. е. отношение линейных элементов является функцией точки, а не направления.

Угол между двумя направлениями и на касательной плоскости поверхности в точке определяется формулой [формула (1.1)]

а угол между двумя соответствующими направлениями на поверхности задается уравнением

откуда

Следовательно, рассмотренное преобразование сохраняет углы; говорят, что оно конформно.

Обратно, всякое конформное преобразование сохраняет минимальные линии, так как оно преобразует изотропные направления касательной плоскости в точке поверхности в изотропные направления касательной плоскости в соответствующей точке поверхности Впрочем, в этом можно также убедиться, записав выражение

для в виде, не содержащем коэффициента

следовательно,

откуда

В другой форме это соотношение известно в аналитической геометрии под названием формулы Лагерра.

Рассмотрим вообще соответствие между двумя поверхностями при котором сопоставляются друг другу точки с равными параметрами и ортогональным направлениям одной поверхности сопоставляются ортогональные направления другой. Положим

сделанное предположение эквивалентно тому, что соотношению

для произвольных и соответствует на соотношение

иначе говоря,

при любых следовательно,

или же

Таким образом, соответствие будет конформным. (Это можно было увидеть непосредственно, заметив, что изотропные направления, как ортогональные самим себе, должны соответствовать самим себе.)

С более общей точки зрения, рассматривая задачу в действительной области, предположим, что две поверхности имеют первые основные квадратичные формы в действительном

представлении (это означает, что координатные линии действительны)

Чтобы установить конформное соответствие между необходимо определить две функции

так, чтобы было пропорционально имеем

Записывая это соотношение подробно, находим

Получаются три уравнения относительно и X (вспомогательного неизвестного, которое можно, впрочем, исключить).

Эта система, вообще говоря, имеет решения, и мы видели, какой степенью общности они обладают. Но, рассматривая задачу в действительных координатах, заметим прежде всего, что если преобразование ставящее в соответствие точке поверхности точку поверхности будет давать конформное отображение, то обратное преобразование будет также определять конформное отображение поверхности на поверхность Более того, если конформное отображение поверхности на другую поверхность то произведение этих двух преобразований или будет конформным отображением поверхности на поверхность

Пусть теперь фиксированная плоскость и В — конформное преобразование поверхности на. плоскость а конформное преобразование поверхности на плоскость преобразование будет тогда конформным преобразованием поверхности на поверхность и обратно, если конформное преобразование на то преобразование будет конформно отображать на плоскость

Отыскание конформных преобразований одной поверхности в другую сводится, следовательно, к отысканию конформных преобразований поверхности на плоскость. Пусть теперь и два конформных отображения поверхности на плоскость преобразование будет конформным отображением плоскости на себя, и обратно, если конформное преобразование плоскости на себя, то будет конформным отображением поверхности на плоскость

Следовательно, все конформные отображения поверхности на плоскость можно получить, зная одно из них и комбинируя его с конформным отображением плоскости на себя; отыскание этих последних является классической задачей, решение которой мы сейчас напомним.

В прямоугольной системе координат надо искать точечные преобразования

такие, что

В более подробной записи имеем

Зто означает, что два вектора с компонентами соответственно Имеют и же длину и взаимно ортогональны. Если второй вектор образует с первым угол то будем иметь

Если он образует угол то будет

Первая группа соотношений представляет собой условия моногенности Коши; она показывает, как известно, что есть аналитическая функция от преобразование сохраняет тогда угли и ориентацию. Вторая группа получается из первой заменой на т. е. будет аналитической функцией от и преобразование второй группы будет получаться из преобразования первой группы выполнением преобразования симметрии относительно оси X в плоскости эти преобразования, следовательно, меняют ориентацию.

Если координатные линии на поверхности выбраны так, что. линейный элемент представляется в виде

то мы получим конформное отображение поверхности на плоскость сопоставив координатным линиям параллели к ортогональным осям координат этой плоскости; семейство координатных линий образует тогда так называемое изотермическое семейство. На поверхности вращения, например, такой, как мы видели в § 1, параллели и меридианы образуют два семейства ортогональных изотермических линий.

Приложение к географическим картам. Картой называют отображение поверхности на плоскость.

Географическими картами называют карты, которые отображают всю или часть поверхности Земли; они бывают разного вида. Так, например, карта, приспособленная к потребностям фиска (обложения налогами), должна сохранять, насколько возможно, площади (это случай старой французской карты). С другой стороны, в навигации большой интерес представляют карты, сохраняющие углы.

Поскольку поверхность Земли приближенно представляет собой поверхность сжатого эллипсоида вращения, мало отличающегося от сферы, речь идет, следовательно, о конформном отображении части сферы на плоскость (с некоторыми исправлениями, которые в большинстве случаев не имеют значения). Несколько классических примеров этого можно найти в упражнениях.