9. Уравнение, приведенное в окрестности точки.

Условие неподвижности геометрической точки

отнесенной к репеу Френе поверхности, напишется в виде где — дифференциальная форма. Последнюю легко исключить, что приводит к уравнениям

Отсюда, принимая во внимание произведенную редукцию, получаем

Напишем теперь, что в каждой точке приведенная форма уравнения имеет вид

где однородные многочлены относительно х и у, степень которых отмечена индексами; мы хотим выразить тот факт, что заданная точка поверхности неподвижна в пространстве. Для первые два уравнения (9.1) показывают, что

и последнее напишется тогда в виде

откуда

Мы найдем теперь, комбинируя уравнения (9.2),

откуда

Возобновляя эту операцию, будем иметь, принимая во внимание выражения форм через формы

откуда следует, что приведенная форма уравнения имеет вид

Дальнейшая редукция невозможна, потому что, в силу определения величин репер Френе будет определен после определения его инвариантов.

Из этой формы уравнения поверхности можно усмотреть, как отмечалось выше, что направления будут асимтотическими касательными поверхности; квадрика будет квадрикой Ли; направления будут направлениями касательных Дарбу.

Чтобы продвинуться далее в выяснении геометрического смысла, найдем прежде всего в окрестности начала уравнения асимптотической линии поверхности (9.3), касательной к прямой .

Достаточно положить

и написать

тогда уравнение (9.3) дает Мы находим, дополняя уравнение (9.3) многочленом пятой степени

Касательная в точке к этой кривой и четыре инфинитезимально близких касательных определяют линейный комплекс, называемый соприкасающимся к асимптотической в точке который мы сейчас определим. Если обозначить через компоненты вектора, лежащего на прямой, проходящей через точку то уравнение линейного комплекса в неоднородных координатах будет иметь вид

где

Чтобы определить (с точностью до множителя) нам необходимо написать здесь, что выражение

будет по крайней мере пятого порядка относительно в силу (9.4), поскольку X — единственный член порядка нуль, а единственный член первого порядка, необходимо положить Имеется два члена второго порядка: ; написав, что имеет порядок выше второго, найдем и простой подсчет показывает тогда, что будет по крайней мере седьмого порядка. Поскольку будет четвертого порядка и третьего порядка, мы должны иметь Окончательно, уравнение искомого комплекса будет иметь вид

Таким же образом находим уравнение соприкасающегося линейного комплекса ко второй асимптотической линии:

Конгруэнция общих прямых этих двух комплексов определяется уравнениями

первое уравнение представляет специальный комплекс прямых, пересекающих ось второе — комплекс прямых, пересекающих ось эти две прямые, называемые директрисами Вильчинского этой поверхности в точке будут директрисами общей конгруэнции двух комплексов.

Заметим, наконец, что точка лежит на квадрике Ли; итак, репер Френе в точке поверхности геометрически определяется следующим образом:

прямые и будут асимптотическими касательными;

прямые являются директрисами Вильчинского;

точка лежит на квадрике Ли.