9. Основная теорема.
Всякой связности (3.1) многообразия 
мы сопоставили два тензорных поля кривизны и кручения (а также поля их ковариантных производных возрастающих порядков по правилам § 5). Здесь мы ставим себе обратную задачу, будет ли знание этих тензоров в некоторой окрестности на многообразии 
определять связность.
Рассмотрим геодезические, проходящие через точку 
(мы предположим для упрощения записи, что 
покрывающие целую окрестность этой точки (например, 
с достаточно малым 
Будем определять их точки при помощи параметра 
Положим на геодезической, определенной уравнениями (8.5),
Уравнения (8.5) дают
откуда
Следовательно, 
в некоторой окрестности точки 
образуют систему координат, называемую нормальной в точке 
Всякая другая нормальная система координат 
должна быть такой, что уравнения геодезических, проходящих через 
имеют форму
Всякому вектору 
связанному с 
преобразование 
ставит в соответствие некоторый вектор и наоборот; следовательно, это наиболее общее центро-аффинное преобразование
где 
константы и 
Приведя координаты к нормальному виду, мы теперь канонизируем представление связности, потребовав, чтобы перенос репера в 
вдоль всякой геодезической 
был параллельным переносом, т. е. чтобы
или
Положим тогда 
где 
произвольные константы, 
рассмотрим бесконечно малый контур с вершинами
Вернемся к формулам (4.1). Они запишутся в виде
откуда, обозначая через и 
компоненты тензоров кручения и кривизны в выбранной системе координат, имеем
Но 
представимо в виде
откуда
Рассматривая и как константы, мы видим, что 
будут функциями одного 
Положим поэтому 
отсюда
уравнения (9.1) запишутся в виде
Это линейная дифференциальная система (интегрирования которой можно свести к квадратурам), которая позволяет определить 
по их начальным значениям 
для 
Проведя интегрирование, мы подставим 
в результат, заменив затем 
и 
через 
соответственно; тогда получим 
определяющие связность. Мы можем высказать следующий результат:
Знание тензоров кручения и кривизны в каждой точке многообразия линейной аффинной связности достаточно для определения этой связности.
Другими словами, если между двумя многообразиями 
с линейной аффинной связностью можно установить такое точечное соответствие, что тензоры кривизны и кручения будут равны в соответствующих точках, то связности могут быть представлены, по-крайней мере локально, одними и теми же уравнениями (3.1) с точностью до обозначений. Два таких пространства называются эквивалентными или наложимыми.
Геометрия многообразия 
снабженного связностью 
полностью определяется, по крайней мере локально, заданием тензоров кручения и кривизны.
Из формул типа (5.5) и (5.6) (с условием 
в начале координат) следует, с другой стороны, что знание последовательных ковариантных производных тензора позволяет определить дифференциалы его компонент в репере, связанном с каждой точкой, и, далее, их частные производные. Рассмотрим случай аналитической связности в окрестности некоторой точки. Формулы (4.4), (4.5) и (4.6) показывают прежде всего, что тензоры кручения и кривизны — аналитические функции координат. Задание последовательности их частных производных определяет их в целой окрестности. Итак:
Аналитическая связность локально определяется заданием в некоторой точке тензоров кручения и кривизны и последовательности их ковариантных производных.
то уравнения (4.4) являются уравнениями структуры аффинной группы; пространство поэтому локально эквивалентно аффинному пространству 
связность, определенная в 
является плоской связностью. Из уравнений (9.2) мы непосредственно получаем интегрированием, что 
это естественная связность для 
