Глава II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Репер Френе. Общие случаи.

Будем рассматривать поверхность в аффинном унимодулярном пространстве трех измерений. Мы используем формулы (I, 1.5 и 1.6).

Выберем в качестве триэдров порядка 0, связанных с точкой триэдры, имеющие вершину в точке Формы будут главными. Начнем с триэдров порядка 1, грань которых касается поверхности. Тогда имеем соотношение внешнее дифференцирование которого дает

или, в силу теоремы Картана (0, II, 9),

откуда Остается шесть вторичных параметров ), и мы имеем Резюмируем эти результаты в следующей таблице:

Внешним дифференцированием из уравнений (1.1) получаем, что

Отсюда выводим по теореме Картана, что величины в скобках, представляют собой линейные комбинации форм Следовательно,

их вариации по вторичным параметрам равны нулю, т. е.

откуда

т. е. выражение определено с точностью до множителя. Следовательно, мы можем нормировать триэдры порядка 1, взяв или —1. Оставим в стороне случай который мы изучим в § 3. Из двух случаев лервый называется эллиптическим, второй — гиперболическим.

Эллиптический случай. Начнем с эллиптического случая . В этом случае ни а, ни с не равны нулю. Когда задано, задано и равенство влечет за собой равенства откуда (так как ). Итак, а определено с точностью до множителя; нормируя, можно положить Тогда получим Так как когда то определяется только с точностью до аддитивной постоянной; нормируя, можно взять и мы будем иметь

Но, заменяя на а затем на мы видим, что меняют знак. Следовательно, можно взять Уравнения (1.4) дадут тогда

Применяя к уравнениям (1.3) теорему Картана, можно написать:

Чтобы продолжить редукцию, мы должны прежде всего изучить уравнения в вариациях для коэффициентов Мы их

записываем, продифференцировав внешним образом равенства, содержащие эти параметры, и приравняв нулю вариации коэффициентов при членах по Получаем

Отсюда, полагая

заключаем, что Таким образом, К есть инвариант третьего порядка; он называется аффинной кривизной. Мы изучим далее (§ 2) случай, когда При поскольку определен лишь квадрат этого инварианта, мы возьмем Записав тогда

находим, что . Так как определено только с точностью до аддитивной постоянной, то можно произвести нормирование, взяв т. е.

Возвращаясь теперь к предыдущим уравнениям в вариациях, мы видим, что определены только с точностью до аддитивных постоянных, и мы можем определить триэдры порядка 3, полагая

что влечет за собой равенства Вторичных параметров больше нет. Триэдр порядка 3 есть триэдр Френе, линейные инвариантные формы. Мы запишем:

Полагая тогда

(последняя строчка следует из равенства мы видим, что являются инвариантами. Внешнее дифференцирование дает условия интегрируемости

Напишем, наконец, формулы перемещений триэдра Френе

Гиперболический случай. Рассмотрим случай, когда Вернемся к формулам (1.4) с и положим, кроме того, . В частности, получаем . Если равна нулю, имеем Если а не равно нулю, определяется с точностью до аддитивной постоянной, можно поэтому всегда произвести нормирование, положив Тогда пусть, например, и так как то с претерпевает наиболее общую линейную подстановку. Можно закончить нормировку, положив

Меняя на на мы видим, что при этом меняет знак, поэтому можно всегда взять Уравнения (1.4) дают тогда Окончательно, принимая во

внимание соотношения (1.3), можно написать:

Продолжая редукцию, находим

претерпевают линейные преобразования, и можно произвести нормирование, взяв (тогда ); определены только с точностью до множителя, но Следовательно, инвариант, и если он отличен от нуля, то а при замене на меняет знак. Можно ориентировать оси таким образом, что будут положительны. Положим тогда так как определены с точностью до множителя, то можно закончить нормировку, взяв где - аффинная кривизна. Напишем:

Полагая

(последняя строчка следует из равенства мы имеем новые инварианты; находим условия интегрируемости

Запишем перемещения триэдра Френе:

В обоих случаях и прямая, несущая вектор называется аффинной нормалью к поверхности.