3. Касание кривой и поверхности.

Определение. Вычисление. Пусть поверхность, (7) — кривая, заданные параметрически:

Допустим, что (7) и (5) имеют общую точку

обыкновенную некоторого достаточно большого порядка на (7) и на (5), причем наши параметрические представления допустимы. Мы скажем, что (7) и (5) имеют в точке касание в точности порядка если возможно определить на (5) кривую (8), имеющую с касание порядка и если нельзя определить кривой имеющей с касание порядка

Касание порядка нуль означает только, что общая точка (5) и (7). Касание порядка 1 означает, что кривая касается поверхности Касание бесконечного порядка означает, что (7) лежит на (5) [когда и (5) аналитические и точка регулярна на обоих].

Чтобы определить порядок касания и (5), нужно определить кривую (8) на (5), т. е. выразить в виде функций от таким образом, чтобы первые производные от совпадали в Мы будем иметь уравнения

Первое из них выполняется по условию. Второе даст если действительно имеется касание, причем решение будет единственным, так как параметрическое представление на является допустимым и мы имеем

Подставляя эти величины в уравнение со вторыми производными, мы определяем и? и если это возможно, и т. д.

Допустим, что мы дойдем так до уравнения с производными порядка которое уже не сможем разрешить, и пусть две функции, принимающие в вместе с их производными до порядка найденные значения. Тогда кривая (8) на определенная уравнением имеет с порядок касания

Мы видим, от какого произвола зависят кривые типа (5). Если определено только несколько первых производных от то они все имеют в точке порядок касания по крайней мере Впрочем, из транзитивности следует, что если две кривые (8) и на имеют в касание по крайней мере порядка и если (8) имеет с касание порядка , то имеет с касание порядка по крайней мере Порядок соприкосновения и (5) есть уменьшенный на единицу порядок дифференцирования, встречающийся в первом члене первого из неразрешимых уравнений (3.1).

Из системы (3.1) или непосредственно из определения получаем также следующий результат: если две кривые имеют в касание порядка и если имеет с (5) касание порядка то имеет с касание порядка по крайней мере

Наконец, как и в случае двух кривых, порядок касания есть инвариант при точечных преобразованиях вида (2.3).

Как и для кривых, порядок касания кривой и поверхности может быть определен и другим способом.

Пусть точка на (5), наиболее близкая к точке на Доказывается, как и в случае кривых, что точка единственна, если достаточно близка к и что ее координаты определяются, если записать, что первые частные производные от по равны нулю; это дает

или

причем но для значений якобиан

отличен от нуля, так как представление допустимо; мы можем поэтому определить из уравнений (3.2) выражения для как функций параметра в окрестности и эти функции будут иметь непрерывные производные до порядка точки Полагая

имеем так как есть ненулевой вектор касательной плоскости. Получаем

Функции, определенные уравнениями (3.2), задают на поверхности кривую касательную к в точке и имеющую в обыкновенную точку. Порядок касания не ниже , так как для всякой другой кривой на (5) имеем и если имеет в касание порядка с кривой то имеет порядок по отношению к следовательно, имеет порядок по крайней мере Порядок не может быть больше этого числа, так как тогда имели бы в касание порядка не ниже т. е. имела бы с (5) порядок касания выше Итак:

Порядок касания кривой с поверхностью в точке есть уменьшенный на единицу порядок малости расстояния от точки кривой до относительно бесконечно малого расстояния когда стремится к имеет порядок

Как и в случае кривых, мы видим, что величина того же порядка, что и относительно если прямые пр не допускают никакой предельной прямой в касательной плоскости к (5) в точке . В частности, если касательная плоскость не параллельна можно взять прямую пр параллельной Представим (5) и (7), например, в форме

и предположим, что точка в которой нужно определить касание, соответствует значению параметра Если касательная плоскость к поверхности не параллельна оси мы допустим, кроме того, что

получим

Рис. 15.

Приняв во внимание полученные нами результаты, ставим задачу определения порядка касания кривой (7) с кривой (8) поверхности заданной уравнениями

Положим

Получим

Пусть - порядок относительно

Мы находим из предыдущего уравнения

имеет с (8) и, следовательно, с (5) касание порядка

Порядок касания поверхности и кривой (7) есть уменьшенный на единицу порядок малости относительно

Так как координата не играет особой роли, то наше заключение верно и для общего случая, когда

Поверхности, соприкасающиеся с кривой. Касание порядка кривой и поверхности налагает условий на поверхность.

Рассмотрим фиксированную кривую

и семейство (2) поверхностей, зависящих от параметров:

В общем случае можно найти для всякой точки на поверхность семейства (2), проходящую через эту точку и имеющую касание порядка

Полагая

определяют значения параметров из системы уравнений

Рассмотрения, аналогичные проведенным в случае кривых, показывают, что эта поверхность, называемая поверхностью семейства (2), соприкасающейся с кривой в точке есть предел поверхностей из (2), проходящих через точек кривой близких к точке когда эти точки стремятся к точке

Если семейство (2) есть семейство плоскостей (три параметра), то можно реализовать касание порядка 2, и мы найдем соприкасающуюся плоскость в точке кривой.

Если семейство (2) есть семейство сфер (четыре параметра), то можно реализовать касание порядка 3, и мы получим соприкасающуюся сферу в точке кривой; элементы этой сферы будут определены далее.

Одно дополнительное условие обеспечивает касание порядка Таким образом, в общем случае мы будем иметь изолированные точки на где это условие будет реализовано. Говорят, что в этих точках имеет место сверхсоприкосновение.

Кривые, соприкасающиеся с поверхностью. Пусть заданная поверхность:

обыкновенная точка на ней. Рассмотрим семейство кривых, зависящих от параметров:

Записав, что кривые этого семейства проходят через точку мы получим три соотношения, из которых два позволят, вообще говоря, выразить два из этих параметров (скажем, ) через остальные, а третье даст значение параметра соответствующее положению точки на кривой, также в виде функции этих параметров Пола мы получаем таким образом семейство кривых от параметров:

причем значение нового параметра, соответствующее точке есть

Записав

имеем и можем распорядиться параметрами таким образом, чтобы реализовать условия

которые означают, что имеет место касание порядка кривой из семейства с поверхностью в точке

Эта кривая называется кривой семейства соприкасающейся с (5) в точке Касание более высокого порядка требует еще одного дополнительного условия, поэтому в общем случае будут существовать только отдельные точки сверхсоприкосновения.

Если семейство есть семейство прямых (четыре параметра), то можно реализовать в общем случае касание порядка не ниже 2. Мы получаем, что в общем случае можно найти в касательной плоскости к поверхности в некоторой ее точке два направления, имеющих с поверхностью касание порядка не ниже 2. Они нам еще встретятся далее под названием асимптотических направлений.

Если семейство есть семейство окружностей (шесть параметров), то можно в общем случае реализовать касание порядка 4 (см. упражнение 4).