20. Аффинная группа.

Эта группа, обозначаемая определяется уравнениями

с единственным условием Эта группа, как легко видеть непрерывна. Комбинируя эти преобразования с преобразованиями получаем все преобразования (20.1) с но эта группа несвязна. Пространство снабженное структурой группы называется аффинным пространством и обозначается Преобразование (20.1) называется аффинитетом.

Эта группа действует транзитивно на совокупности пар точек, поэтому нет инварианта пары точек. Наоборот, над совокупностью троек точек, расположенных на одной прямой, эта группа не действует транзитивно, следовательно, существует инвариант такой совокупности. Пусть а три такие точки. Из формул (20.1) следует

что отношение

не зависящее от является инвариантом преобразований (20.1).

Этот инвариант называют отношением вектора к вектору и пишут

Мы обобщим это понятие.

Прежде всего понятия оси, направления прямой или оси, параллельных прямых или осей, эквивалентных векторов, свободного вектора могут быть легко определены так же в пространстве

Пусть, далее, два вектора, лежащие на параллельных прямых, их соответственные компоненты; тогда отношение не зависит от и является инвариантом преобразований группы Векторы будут представителями свободных векторов, например векторов пишут также —

Заметим еще, что для поверхностей второго порядка единственными инвариантами будут так что уравнение эллипсоида

(где - сумма квадратов линейно независимых форм) всегда может быть представлено в форме

Преобразование (20.1) определяет также, как мы видели, замену репера, переводя репер в репер определенный координатными плоскостями Точка имеет в новом репере координаты

где

— алгебраическое дополнение элемента в определителе так что

откуда

Что касается компонент вектора, который мы будем называть здесь нонтравариантным вектором, то мы получим их из (20.2)

Мы скажем, что система двух параллельных плоскостей взятых в этом порядке, определяет ковариантный вектор и что два ковариантных вектора эквивалентны, если параллельный перенос переводит (или обратно); векторы, эквивалентные одному и тому же вектору V, образуют свободный ковариантный вектор.

Свободный ковариантный вектор V может быть представлен ковариантным вектором V, первая плоскость которого (начало) проходит через начало координат, а вторая имеет уравнение вида

Числа будем называть компонентами, или координатами, ковариантного вектора. Легко проверить, что при преобразовании (20.2)

Два закона преобразований (20.3) и (20.4) лежат в основе теории тензоров, которую мы изложим в следующей главе.

В метрическом пространстве всякому свободному контравариантному вектору можно поставить во взаимно однозначное соответствие свободный ковариантный вектор: достаточно рассмотреть две плоскости, перпендикулярные к прямой, определенной связанным вектором, представляющим свободный контравариантный вектор, и проходящие через концы этого вектора.

Унимодулярная группа. Это подгруппа группы такая, что . В то время как общая аффинная группа действует транзитивно над системами из точек, не расположенных в одной плоскости, в унимодулярной подгруппе существует инвариант такого множества. Вообще, рассмотрим контравариантных векторов Определитель инвариантен относительно унимодулярной подгруппы и называется ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на этих векторах.