2. Огибающие плоских кривых.

Пусть в плоскости задано семейство кривых

непрерывно зависящее от параметра Мы называем огибающей кривых семейства совокупность кривых касающихся всех кривых в некоторой окрестности значений X (т. е. для где — константы). При этом точка касания, называемая характеристической точкой изменяется вместе с X (так же как и сама кривая ).

а. Общие результаты. Допустим, что имеет непрерывные частные производные по х, у и X в области, где мы оперируем. Координаты точки, лежащей на кривой из (составляющей часть огибающей) и на должны удовлетворять уравнению (2.1). Мы утверждаем, что они, кроме того, удовлетворяют уравнению

если обыкновенная точка на и если . Пусть, в самом деле, (2.2) не имеет места в точке которая является обыкновенной точкой на и в которой

Тогда уравнение (2.1) можно разрешить относительно X, и мы находим в некоторой окрестности этой точки

где имеет непрерывные частные производные и если

Сделаем теперь замену переменных

Имеем

в рассматриваемой окрестности. Преобразование взаимно однозначно и сохраняет касание, как мы показали.

Но, в силу теоремы 1, в плоскости не существует кривой, касательной к прямым семействам Рассматриваемая точка не может, следовательно, принадлежать огибающей. Огибающая может располагаться только в множестве точек, где

или в множестве

[или в множестве которое мы оставили в стороне, где не имеет непрерывных производных].

Множество есть в общем случае геометрическое место особых точек кривых и в обычных случаях не составляет часть огибающей (но оно может содержать обыкновенные точки, и мы увидим случаи, когда оно составляет часть огибающей).

Множество включает в себя и неподвижные точки, если они имеются, через которые проходят все кривые так как если такая точка, то равенство влечет за собой равенство

В зависимости от точки зрения, которая принимается, эти точки можно рассматривать либо как принадлежащие к огибающей, либо нет (в аналитической геометрии их рассматривают как составляющие часть огибающей).

Рассмотрим точку принадлежащую но не принадлежащую и допустим, что в окрестности этой точки функция имеет непрерывные частные производные, причем

Система определяет тогда в окрестности точки некоторую кривую :

Производные функций и существуют и, в силу (2.3), определяются системой

не обращаются одновременно в нуль, если Точка тогда будет обыкновенной на первое из уравнений (2.4) выражает тот факт, что и касаются друг друга; следовательно»

составляет часть огибающей. Замечая, что из условия (2.3) следует, что точка будет обыкновенная на мы можем сказать:

Если в точке множества выполнены условия

то в некоторой окрестности этой точки система определяет кривую составляющую часть огибающей кривых семейства

Более общо, если имеет в обыкновенную точку, в окрестности которой, например, у можно выразить в виде функции от х, то, дифференцируя, мы получаем из равенства соотношение

которое выражает факт касания. Этот результат имеет место, если но он может быть верен и в других случаях.

Рис. 17.

Если, например, и уравнения тем не менее позволяют выразить у и X в виде функций от х, причем X имеет первые и вторые непрерывные производные, то мы находим на

Два первых соотношения показывают, что якобиан

равен нулю; первое и третье из них будут одинаковы для кривых в рассматриваемой точке значения соответственно совпадают; и имеют в этой точке касание по крайней мере второго порядка. (Если эти условия выполняются для всех точек на то эту кривую можно рассматривать как кратную кривую огибающей.)

Допустим теперь, что множество содержит кривую, имеющую обыкновенные точки, в окрестности которых можно выразить у и X через х. Дифференцируя первое из соотношений мы получаем

Это значит, что либо эта кривая составляет часть либо, при постоянном X, кривая составляет часть

Кривые называемые стационарными, на которых тождественно обращается в нуль, образуют в общем случае часть но не часть огибающей. Итак:

Исключение X из двух уравнений дает множество кривых заключающее в общем случае и стационарные кривые.

Следовательно, в общем случае огибающую нужно искать в множестве и в множестве где перестает иметь непрерывные производные.

Для произвольного значения X в характеристических точках удовлетворяются уравнения Если кривые алгебраические степени то мы имеем в общем случае (действительных или мнимых) характеристических точек, но из этого числа надо вычесть число неподвижных точек, если они есть, так же как и число особых точек. Огибающая будет иметь, вообще, ветвей, которые составят части одной и той же аналитической кривой в аналитическом случае.

Для т. е. в случае семейства прямых, на каждой прямой имеется лишь одна характеристическая точка. Геометрическое место этих точек составляет огибающую семейства прямых. В случае конических сечений имеем, вообще говоря, четыре характеристические точки. Если конические сечения — окружности, то имеем лишь две характеристические точки (действительные или мнимые), так как окружности проходят через циклические точки плоскости.

Впрочем, в общем случае (2.4) характеристическая точка может быть определена и другим способом. Рассмотрим, действительно, две близкие кривые Их общие точки определяются уравнениями

Когда стремится к нулю, стремится к и якобиан стремится к якобиану

к ненулевому значению. Существует, следовательно, единственное решение системы (2.6): стремящихся к х и у, когда стремится к нулю. Итак:

В случае, когда выполняются предположения (2.5), точка касания с огибающей есть предел единственной общей точки кривых когда стремится к нулю. (Допущение нужно здесь только для того, чтобы обеспечить касание.)

Напротив, если мы имеем между и огибающей касание второго порядка, то точка касания в общем случае либо будет пределом двух общих точек кривых либо не будет пределом ни одной общей точки; аналитическая точка зрения и только она одна вносит ясность в этот вопрос, так как в общем случае, если аналитические и точка касания регулярна, она будет пределом общих точек (действительных или мнимых)

Рис. 18.

Замечания. 1° Пусть нужно найти огибающую семейства кривых, зависящих от двух параметров

связанных соотношением

Находя, например, из второго уравнения и подставляя его в первое имеем

откуда

Это уравнение нужно присоединить к уравнениям

чтобы получить множество точек, содержащее огибающую.

2° Если кривые заданы в параметрической форме:

то нужно искать таким образом, чтобы вектор был коллинеарен вектору что дает

3° В виде исключения семейство кривых, зависящих от нескольких параметров, может также иметь огибающую. Это, например, случай окружностей, касающихся заданной кривой (два параметра).

b. Примеры. 1° Огибающие прямых. Рассмотрим семейство касательных к кривой

Дифференцируя это уравнение по X, получаем

Кроме решения дающего характеристическую точку, мы находим стационарные прямые они соответствуют точкам перегиба заданной кривой и не входят в огибающую.

Если рассмотреть семейство прямых, заданное в виде

где параметр, то для них эта аномалия уже не имеет места; это происходит потому, что в точке перегиба переменное имеет, вообще говоря, экстремум и не может служить параметром для представления окрестности такой точки.

2° Рассмотрим параболы

Уравнение, которое нужно присоединить, чтобы получить огибающую, запишется так:

Огибающая состоит из кривой из оси получаемой при или при Здесь стационарная кривая составляет часть огибающей.

3° Кривые имеют огибающей ось которая являзтся геометрическим местом их особых точек. Для кривых

огибающая состоит из оси геометрического места их особых точек с исключенным началом и прямой также с исключенным началом. Кривая семейства, проходящая через начало, сводится к пять раз взятой оси

4° Огибающие окружностей Рассмотрим семейство окружностей С, центры которых описывают кривую и радиусы которых зависят от Обозначая через текущую точку на окружности, имеем

Чтобы получить огибающую, нужно присоединить уравнение

изображающее некоторую прямую перпендикулярную касательной в точке 5 к кривой Мы различаем три случая:

а. пересекает окружность в двух действительных точках которые при этом будут симметричны по отношению к касательной в точке Огибающая содержит две ветви, которые в аналитическом случае являются двумя ветвями одной и той же аналитической кривой.

Если постоянно, мы получаем точки откладывая на нормали в точке к кривой с той и с другой стороны длину

Рис. 19.

Рис. 20.

Кривые будут параллельны кривой и будут проходить на расстоянии от нее.

. D пересекает окружность в двух мнимых точках. С действительной точки зрения огибающей нет; это выражение имеет смысл лишь в комплексной области.

f. D все время касается окружности Тогда огибающая содержит только одну ветвь (которую можно рассматривать как двойную). Выберем в качестве параметра на криволинейную абсциссу вместо Имеем

и условие касания записывается в виде

Мы выберем таким образом, чтобы было равно нулю, и выберем направление обхода так, что Записывая тогда в прямоугольной системе (х, у):

и обозначая через координаты текущей точки на окружности, имеем

что дает для координат точки касания

С другой стороны, уравнения (2.4) записываются здесь в форме

Они совместны, но не определяют полностью значения которые можно вычислить непосредственно с помощью предыдущих формул. Мы имеем тождественно

вдоль огибающей Окружности имеют касание по крайней мере порядка и пересекают в общем случае эту кривую. Данное семейство есть, таким образом, семейство соприкасающихся окружностей к одной из эвольвент кривой

Рассмотрим, наконец, две точки и соответствующие значениям и параметра, причем . Так как длина дуги больше длины ее хорды, имеем

Отсюда следует, что окружность семейства с центром в лежит внутри окружности с центром а это показывает, что характеристическая точка окружности семейства есть предел мнимых сопряженных точек, общих для данной окружности и близкой к ней.

с. Предупреждение. Сравнительно подробные рассмотрения, которые мы провели для случая огибающих плоских кривых, не будут повторяться в следующих параграфах. Мы ограничимся изучением общих случаев и простых примеров, однако не следует забывать, что могут возникнуть те же трудности и всякий пример должен рассматриваться со вниманием,