13. Точечные преобразования и преобразования касания, сохраняющие асимптотические линии.

Точечные преобразования точек пространства в пространство (или, более общо, в силу замечания, сделанного в § 1, пространства в пространство ), такое, что асимптотические линии произвольной поверхности пространства переходят в асимптотические линии преобразованной поверхности в пространстве , должны переводить плоскости в плоскости, потому что это единственные поверхности, у которых все линии асимптотические. Следовательно, прямые как пересечение плоскостей должны преобразовываться в прямые; в силу этого, как мы видели (0, I, 23), такое преобразование необходимо будет проективным. Обратно, непосредственно видно, что всякое проективное преобразование сохраняет асимптотические линии.

Обратимся теперь к преобразованиям касания, сохраняющим асимптотические линии. Для этого нам надо немного обобщить понятие асимптотической полосы: это будет теперь однопараметрическое многообразие элементов касания (определяемых точкой и направлением нормали к плоскости элемента в этой точке), таких, что

Кроме развертывающихся полос, это многообразие содержит конусы элементов касания и прямые, несущие полосу которая зависит от произвольной функции.

Рассмотрим теперь преобразование касания первого класса, сохраняющее асимптотические линии. Точке пространства соответствует поверхность пространства и поскольку произвольный конус, проходящий через точку является асимптотической полосой, его образ, который будет некоторой кривой поверхности тоже будет асимптотической линией; следовательно, поверхность будет плоскостью. По тем же соображениям, образ точки пространства в пространстве будет плоскостью. Таким образом, это преобразование переводит точки в плоскости и плоскости, в точки; если его сочетать с преобразованием взаимных иоляр, то получим точечное преобразование, переводящее плоскости в плоскости, значит, некоторое проективное преобразование. Итак, рассматриваемое преобразование будет произведением преобразования взаимных поляр и проективного преобразования, следовательно, будет преобразование по принципу двойствен ности. Обратно, непосредственно видно, что всякое преобразование по принципу двойственности сохраняет асимптотические линии.

Посмотрим теперь, существуют ли преобразования касания второго класса, сохраняющие асимптотические линии. Точке пространства такое преобразование сопоставляет линию пространства, способную нести бесконечное множество асимптотических полос; такая линия, будет, следовательно, прямой. Итак, каждой точке одного пространства соответствует прямая в другом пространстве.

Пусть теперь в пространстве заданы четыре точки образующие тетраэдр; им соответствуют в пространстве четыре прямые

Существует по крайней мере одна прямая, пересекающая эти четыре прямые и, значит, имеющая с ними общий элемент касания. Ее образ, обязанный содержать бесконечное множество асимптотических полос, зависящее от произвольной функции, будет точкой, прямой или плоскостью. Следовательно, в пространстве должна существовать точка, прямая или плоскость, имеющая общий элемент касания с точками но таких не существует; следовательно, не существует и такого преобразования.