5. Движения.

Будем искать условия для того, чтобы риманово пространство допускало -параметрическую группу преобразований, сохраняющую основную дифференциальную форму. Мы будем говорить тогда, что пространство допускает -параметрическую группу движений. Мы видели, что причем знак равенства имеет место только для пространства постоянной кривизны.

Изучим случай группы движений, зависящих от одного параметра Если тождественное преобразование соответствует значению то уравнения этой группы могут быть записаны в виде

Для того чтобы форма

была инвариантна относительно инфинитезимального преобразования с компонентами необходимо, чтобы

или

Коэффициент при равен нулю, и вводя ковариантные компоненты вектора окончательно имеем

Эта система уравнений получена Киллингом; она эквивалентна системе

и, вообще говоря, не имеет решений.

В случае, когда она имеет решение, рассмотрим траектории группы, т. е. кривые, определенные равенствами

и возьмем новую систему координат так что для вдоль каждой из этих кривых. Если обозначают новые компоненты вектора инфинитезимального преобразования, имеем для Полагая далее

мы получаем новые компоненты вектора инфинитезимального преобразования: Уравнения (5.1) примут вид

Коэффициенты основной формы не зависят от она остается инвариантной при преобразованиях группы

Итак, существование поля векторов, удовлетворяющих уравнениям Киллинга, необходимое и достаточное условие для того, чтобы риманово пространство допускало однопараметрическую группу движений. Это утверждение легко обобщить на случай, когда имеется линейно независимых полей векторов, удовлетворяющих уравнениям Киллинга. Пространство допускает тогда -параметрическую группу движений.

Вдоль некоторой геодезической имеем, с другой стороны,

и поэтому, если удовлетворяют уравнениям Киллинга, т. е. если пространство допускает однопараметрическую группу движений, то уравнения геодезических допускают интеграл

и наоборот, если уравнения геодезических допускают линейный первый интеграл, то пространство допускает однопараметрическую группу движений. Более общо:

Если риманово пространство допускает -параметрическую группу движений, то уравнения геодезических допускают линейных и независимых первых интегралов, и наоборот.

Среди однопараметрических групп мы отличаем группу переносов, траектории которой — геодезические. Если положить

то из равенства следует, что

откуда, умножая на и принимая во внимание получаем, что

Предположим, что речь идет о семействе геодезических ненулевой длины, тогда отсюда следует, что К должно быть постоянным, и мы получаем, что

Вместе с это опять условие, необходимое и достаточное для того, чтобы пространство допускало группу движений, траектории которой являются не минимальными геодезическими (уравнения будучи линейными и однородными, допускают вместе с решение , где С — произвольная постоянная; поэтому можно взять ).

Имеем тогда вдоль всякой траектории, но это равенство не обязательно является тождеством; тем не менее из (5.3)

следует, что вектор образует постоянный угол со всякой геодезической.

Обратно, если поле единичных векторов таково, что векторы поля в каждой точке произвольной геодезической образуют постоянный угол с ее касательной, то мы имеем дело с полем векторов, касательных к траекториям некоторого переноса.

Частный случай, когда тождественно есть случай, когда поле является полем параллельных векторов. Как мы видели, с помощью замены переменных можно свести дело к случаю, когда и вышестоящее условие запишется тогда в виде

откуда, умножая, на получаем, что

Переставляя и складывая, мы приходим вновь к системе

и остается

так что можно найти такую функцию что

Основная форма может быть тогда написана в виде

Полагая

мы ее перепишем в виде

где зависит только от Пространство является произведением риманова пространства измерений на прямую. Геодезические ортогональны поверхностям