8. Вопросы анализа на поверхности.

Пусть X — вектор касательной плоскости, присоединенной к точке поверхности имеем равенство вида

где контравариантные компоненты, или координаты вектора Поскольку линейный элемент поверхности имеет вид

числа

будут ковариантными компонентами вектора

Таким образом, вектор имеет контравариантные компоненту и ковариантные компоненты

Из формул (8.1) выводятся формулы, позволяющие перейти от ковариантных компонент к контравариантным,

Для скалярного произведения двух векторов имеют место формулы

и, в частности, для квадрата длины вектора

При заданном векторе X с контравариантными компонентами: вектор X с ковариантными компонентами

ортогонален вектору X и имеет, в силу (8.3), ту же длину, что и мы будем говорить, что он получается из вектора X поворотом на угол в положительном направлении (или на угол ), причем положительное направление вращения в касательной плоскости выбрано от вектора к вектору . Обозначая, теперь буквой 6 угол между векторами имеем сначала

затем

отсюда получаются следующие формулы, определяющие угол :

Рассмотрим теперь скалярную функцию точки (или инвариант) определенный на поверхности Это означает, что функция не зависит от выбора параметра; дифференциал этой функции будет, следовательно, инвариантом. Поскольку

и дифференциалы являются контравариантными компонентами вектора то будут ковариантными компонентами вектора, который называется градиентом функции (и который будет записывать ). Контравариантные компоненты градиента получаются по формулам (8.2); имеем

Если мы рассмотрим другую функцию точки то скалярное произведение градиентов этих функций вводит новую функцию точки, рассмотренную впервые Бельтрами

и называемую смешанным дифференциальным параметром функций . В частности, при имеем первый дифференциальный параметр Бельтрами, который представляет собой квадрат длины градиента функции

Дифференциальный параметр есть квадратичная форма относительно и смешанный дифференциальный параметр будет ее полярной формой. В частности, имеем

откуда получается следующее выражение для линейного элемента:

Рассмотрим теперь моле векторов X, касательных к поверхности,

где — функции переменных Пусть С — замкнутая кривая, граница области на поверхности выберем направление обхода на кривой С таким образом, чтобы вектор получаемый из вектора поворотом на угол был направлен внутрь области и рассмотрим интеграл вдоль линии С в выбранном направлении:

который представляет собой поток вектора X через линию С. Поскольку вектор имеет контравариантными компонентами и вектор имеет ковариантные компоненты

Пусть теперь образ линии С на плоскости , а А - область, имеющая своим образом и у, границей. Направление обхода, выбранное на линии С, индуцирует на кривой у положительное направление, и мы имеем тогда по формуле Грина

Возвращаясь к поверхности мы можем написать

где означает элемент площади поверхности Рассмотрим последовательность кривых содержащих внутри себя фиксированную точку и стягивающихся к нулю по всем направлениям при неограниченном возрастании Обозначая через площадь (также стремящуюся к нулю), которую кривая высекает на поверхности будем иметь, если только все производные, которые здесь встречаются, непрерывны,

Эта формула показывает, чтоправая часть является функцией точки, которая называется (как и на плоскости) дивергенцией рассматриваемого векторного поля в точке

Формула (8.6) означает, что поток вектора X через С (изнутри наружу) равен интегралу дивергенции вектора

Если ввести компоненты вектора X, получаемого из вектора X поворотом на угол то можно записать, что

Мы видим, следовательно, меняя обозначения, что, исходя из поля векторов X, можно ввести новое скалярное поле

Непосредственно видно, что для тождественного обращения этого поля в нуль, необходимо и достаточно, чтобы поле векторов X было полем градиентов.

Отправляясь от функции точки, мы построили некоторое векторное поле — поле градиентов; затем, отправляясь от векторного поля, мы определили функцию точки. Последовательное повторение этой процедуры позволяет нам выводить из функции точки или из поля векторов новые функции точки или новые поля векторов. Таким образом, например, отправляясь от функции точки мы получаем новую функцию точки, рассматривая выражение

называемое дифференциальным параметром Бельтрами второго порядка и представляющее собой обобщение на случай поверхностей понятия лапласиана на плоскости; имеем

Приложения. 1° Моногенные функции на поверхности. Изотермические координаты. Моногенные функции на комплексной плоскости имеют в каждой точке производную, которая не зависит от выбранного направления. Мы обобщим это понятие на поверхности следующим образом. Обозначим через элемент дуги в направлении и через угол этого направления с вектором Будем говорить, что комплексная функция является моногенной функцией, если отношение;

имеет значение а не зависящее от угла Но мы имеем

отсюда

что дает сначала

а, затем, если отделить действительные части от мнимых,

Эта система, обобщающая систему Коши на плоскости, показывает, что градиент функции V получается из градиента функции поворотом на угол Условие интегрируемости напишется так:

(мы найдем то же самое для обратно, если имеется функция являющаяся решением уравнения то предыдущая система даст нам с точностью до аддитивной константы функцию V таким образом, что будет моногенной функцией на поверхности.

Соотношение (8.7) показывает, что семейство минимальных линий поверхности отображается в семейство изотропных прямых плоскости иначе говоря, на поверхности координаты будут изотермическими.

2° Семейства изотермических кривых. Найдем условие того, что семейство кривых

являетса изотермическим (С обозначает произвольную постоянную). В силу того, что мы видели, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти функцию такую, что имеем

и, используя формулу дивергенции, получаем

Приравнивая эту величину нулю, видим, что отношение должно быть функцией только например тогда получим записывая

— уравнение, которое интегрируется непосредственно и дает с точностью до постоянного множителя. Ортогональное семейство, которое дополняет систему изотермических координат, будет задано посредством где функция определяется уравнениями

интегрирование которых совершается в квадратурах. Поскольку полу чается из поворотом на угол имеем

Выбирая на поверхности координаты имеем, следовательно, в силу (8.5),

3° Линейные элементы вращения. Отсюда следует (см. § 1), что для того, чтобы было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти семейство изотермических кривых таких, что дифференциальный параметр является функцией только Действительно, полагая мы получим

Между тем, чтобы семейство было изотермическим, при дифференциальном параметре зависящем только от надо также, чтобы было функцией от и это условие достаточно; мы можем, следовательно, сказать:

Чтобы было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти отличную от постоянной функцию для которой являлись бы функциями переменной

4° Инвариантные координаты. Возьмем линейный элемент в виде

полагая, как в § 4,

и записывая для функции точки

и для вектора

Для единичного вектора касательного к линии у, можно положить

откуда

следовательно,

Мы будем иметь тогда

поскольку является другой записью для элемента площади отсюда следует

В частности, можно писать

Рис. 30.