Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8. Вопросы анализа на поверхности.Пусть X — вектор касательной плоскости, присоединенной к точке
где
числа
будут ковариантными компонентами вектора Таким образом, вектор Из формул (8.1) выводятся формулы, позволяющие перейти от ковариантных компонент к контравариантным,
Для скалярного произведения двух векторов
и, в частности, для квадрата длины вектора
При заданном векторе X с контравариантными компонентами:
ортогонален вектору X и имеет, в силу (8.3), ту же длину, что и
затем
отсюда получаются следующие формулы, определяющие угол
Рассмотрим теперь скалярную функцию точки (или инвариант)
и дифференциалы
Если мы рассмотрим другую функцию точки
и называемую смешанным дифференциальным параметром функций
Дифференциальный параметр
откуда получается следующее выражение для линейного элемента:
Рассмотрим теперь моле векторов X, касательных к поверхности,
где
который представляет собой поток вектора X через линию С. Поскольку вектор
Пусть теперь
Возвращаясь к поверхности
где
Эта формула показывает, чтоправая часть является функцией точки, которая называется (как и на плоскости) дивергенцией рассматриваемого векторного поля в точке
Формула (8.6) означает, что поток вектора X через С (изнутри наружу) равен интегралу дивергенции вектора Если ввести компоненты
Мы видим, следовательно, меняя обозначения, что, исходя из поля векторов X, можно ввести новое скалярное поле
Непосредственно видно, что для тождественного обращения этого поля в нуль, необходимо и достаточно, чтобы поле векторов X было полем градиентов. Отправляясь от функции точки, мы построили некоторое векторное поле — поле градиентов; затем, отправляясь от векторного поля, мы определили функцию точки. Последовательное повторение этой процедуры позволяет нам выводить из функции точки или из поля векторов новые функции точки или новые поля векторов. Таким образом, например, отправляясь от функции точки
называемое дифференциальным параметром Бельтрами второго порядка и представляющее собой обобщение на случай поверхностей понятия лапласиана на плоскости; имеем
Приложения. 1° Моногенные функции на поверхности. Изотермические координаты. Моногенные функции на комплексной плоскости имеют в каждой точке производную, которая не зависит от выбранного направления. Мы обобщим это понятие на поверхности следующим образом. Обозначим через
имеет значение а
отсюда
что дает сначала
а, затем, если отделить действительные части от мнимых,
Эта система, обобщающая систему Коши на плоскости, показывает, что градиент функции V получается из градиента функции
(мы найдем то же самое для Соотношение (8.7) показывает, что семейство минимальных линий поверхности 2° Семейства изотермических кривых. Найдем условие того, что семейство кривых
являетса изотермическим (С обозначает произвольную постоянную). В силу того, что мы видели, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти функцию
и, используя формулу дивергенции, получаем
Приравнивая эту величину нулю, видим, что отношение
— уравнение, которое интегрируется непосредственно и дает
интегрирование которых совершается в квадратурах. Поскольку
Выбирая на поверхности координаты
3° Линейные элементы вращения. Отсюда следует (см. § 1), что для того, чтобы
Между тем, чтобы семейство Чтобы 4° Инвариантные координаты. Возьмем линейный элемент
полагая, как в § 4,
и записывая для функции точки
и для вектора
Для единичного вектора
откуда
следовательно,
Мы будем иметь тогда
поскольку
В частности, можно писать
Рис. 30.
|
1 |
Оглавление
|