Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8. Вопросы анализа на поверхности.

Пусть X — вектор касательной плоскости, присоединенной к точке поверхности имеем равенство вида

где контравариантные компоненты, или координаты вектора Поскольку линейный элемент поверхности имеет вид

числа

будут ковариантными компонентами вектора

Таким образом, вектор имеет контравариантные компоненту и ковариантные компоненты

Из формул (8.1) выводятся формулы, позволяющие перейти от ковариантных компонент к контравариантным,

Для скалярного произведения двух векторов имеют место формулы

и, в частности, для квадрата длины вектора

При заданном векторе X с контравариантными компонентами: вектор X с ковариантными компонентами

ортогонален вектору X и имеет, в силу (8.3), ту же длину, что и мы будем говорить, что он получается из вектора X поворотом на угол в положительном направлении (или на угол ), причем положительное направление вращения в касательной плоскости выбрано от вектора к вектору . Обозначая, теперь буквой 6 угол между векторами имеем сначала

затем

отсюда получаются следующие формулы, определяющие угол :

Рассмотрим теперь скалярную функцию точки (или инвариант) определенный на поверхности Это означает, что функция не зависит от выбора параметра; дифференциал этой функции будет, следовательно, инвариантом. Поскольку

и дифференциалы являются контравариантными компонентами вектора то будут ковариантными компонентами вектора, который называется градиентом функции (и который будет записывать ). Контравариантные компоненты градиента получаются по формулам (8.2); имеем

Если мы рассмотрим другую функцию точки то скалярное произведение градиентов этих функций вводит новую функцию точки, рассмотренную впервые Бельтрами

и называемую смешанным дифференциальным параметром функций . В частности, при имеем первый дифференциальный параметр Бельтрами, который представляет собой квадрат длины градиента функции

Дифференциальный параметр есть квадратичная форма относительно и смешанный дифференциальный параметр будет ее полярной формой. В частности, имеем

откуда получается следующее выражение для линейного элемента:

Рассмотрим теперь моле векторов X, касательных к поверхности,

где — функции переменных Пусть С — замкнутая кривая, граница области на поверхности выберем направление обхода на кривой С таким образом, чтобы вектор получаемый из вектора поворотом на угол был направлен внутрь области и рассмотрим интеграл вдоль линии С в выбранном направлении:

который представляет собой поток вектора X через линию С. Поскольку вектор имеет контравариантными компонентами и вектор имеет ковариантные компоненты

Пусть теперь образ линии С на плоскости , а А - область, имеющая своим образом и у, границей. Направление обхода, выбранное на линии С, индуцирует на кривой у положительное направление, и мы имеем тогда по формуле Грина

Возвращаясь к поверхности мы можем написать

где означает элемент площади поверхности Рассмотрим последовательность кривых содержащих внутри себя фиксированную точку и стягивающихся к нулю по всем направлениям при неограниченном возрастании Обозначая через площадь (также стремящуюся к нулю), которую кривая высекает на поверхности будем иметь, если только все производные, которые здесь встречаются, непрерывны,

Эта формула показывает, чтоправая часть является функцией точки, которая называется (как и на плоскости) дивергенцией рассматриваемого векторного поля в точке

Формула (8.6) означает, что поток вектора X через С (изнутри наружу) равен интегралу дивергенции вектора

Если ввести компоненты вектора X, получаемого из вектора X поворотом на угол то можно записать, что

Мы видим, следовательно, меняя обозначения, что, исходя из поля векторов X, можно ввести новое скалярное поле

Непосредственно видно, что для тождественного обращения этого поля в нуль, необходимо и достаточно, чтобы поле векторов X было полем градиентов.

Отправляясь от функции точки, мы построили некоторое векторное поле — поле градиентов; затем, отправляясь от векторного поля, мы определили функцию точки. Последовательное повторение этой процедуры позволяет нам выводить из функции точки или из поля векторов новые функции точки или новые поля векторов. Таким образом, например, отправляясь от функции точки мы получаем новую функцию точки, рассматривая выражение

называемое дифференциальным параметром Бельтрами второго порядка и представляющее собой обобщение на случай поверхностей понятия лапласиана на плоскости; имеем

Приложения. 1° Моногенные функции на поверхности. Изотермические координаты. Моногенные функции на комплексной плоскости имеют в каждой точке производную, которая не зависит от выбранного направления. Мы обобщим это понятие на поверхности следующим образом. Обозначим через элемент дуги в направлении и через угол этого направления с вектором Будем говорить, что комплексная функция является моногенной функцией, если отношение;

имеет значение а не зависящее от угла Но мы имеем

отсюда

что дает сначала

а, затем, если отделить действительные части от мнимых,

Эта система, обобщающая систему Коши на плоскости, показывает, что градиент функции V получается из градиента функции поворотом на угол Условие интегрируемости напишется так:

(мы найдем то же самое для обратно, если имеется функция являющаяся решением уравнения то предыдущая система даст нам с точностью до аддитивной константы функцию V таким образом, что будет моногенной функцией на поверхности.

Соотношение (8.7) показывает, что семейство минимальных линий поверхности отображается в семейство изотропных прямых плоскости иначе говоря, на поверхности координаты будут изотермическими.

2° Семейства изотермических кривых. Найдем условие того, что семейство кривых

являетса изотермическим (С обозначает произвольную постоянную). В силу того, что мы видели, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти функцию такую, что имеем

и, используя формулу дивергенции, получаем

Приравнивая эту величину нулю, видим, что отношение должно быть функцией только например тогда получим записывая

— уравнение, которое интегрируется непосредственно и дает с точностью до постоянного множителя. Ортогональное семейство, которое дополняет систему изотермических координат, будет задано посредством где функция определяется уравнениями

интегрирование которых совершается в квадратурах. Поскольку полу чается из поворотом на угол имеем

Выбирая на поверхности координаты имеем, следовательно, в силу (8.5),

3° Линейные элементы вращения. Отсюда следует (см. § 1), что для того, чтобы было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти семейство изотермических кривых таких, что дифференциальный параметр является функцией только Действительно, полагая мы получим

Между тем, чтобы семейство было изотермическим, при дифференциальном параметре зависящем только от надо также, чтобы было функцией от и это условие достаточно; мы можем, следовательно, сказать:

Чтобы было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти отличную от постоянной функцию для которой являлись бы функциями переменной

4° Инвариантные координаты. Возьмем линейный элемент в виде

полагая, как в § 4,

и записывая для функции точки

и для вектора

Для единичного вектора касательного к линии у, можно положить

откуда

следовательно,

Мы будем иметь тогда

поскольку является другой записью для элемента площади отсюда следует

В частности, можно писать

Рис. 30.

1
Оглавление
email@scask.ru