10. Метод подвижного репера Эли Картана.

Как мы увидим, основная проблема, которая ставится для погруженного многообразия, это проблема разыскания его инвариантных форм; соображения предыдущего параграфа позволяют нам указать общий метод, в общем случае длинный и тяжелый.

Э. Картан наметил в одной из своих работ другой метод, который мы воспроизведем с упрощениями и изменениями, чтобы придать ему характер почти полной автоматичности.

Реперы нулевого порядка, присоединенные к точке многообразия зависят от параметров; если группа транзитивна, что мы предположим, чтобы сделать более удобным начало нашего изложения (в противном случае имелись бы инварианты нулевого порядка и нужно было бы начинать с соображений, аналогичных тем, которые мы изложим для порядка 1).

Если в группе после того как сделана замена параметров так, чтобы среди новых параметров было переменных (например, мы получим относительные компоненты инфинитезимальных смещений репера нулевого порядка после замены нулями, то будут существовать линейных комбинаций из форм содержащих только дифференциалы этих параметров, а именно

таких, что инфинитезимальные перемещения репера нулевого порядка получаются наложением на компоненты условий вида

Впрочем, в произвольных параметрах это перемещение задается формами связанными системой соотношений вида

Заметим теперь, что система эквивалентна системе ; следовательно, она будет вполне интегрируема, и мы имеем

соотношения вида

если предположить, что, впрочем, является только вопросом обозначений, что все для линейно независимы.

Рассматривая теперь многообразие и заменяя их выражениями в виде функций переменных реперирования, которые мы будем называть главными параметрами, заметим, что содержат только дифференциалы формы вообще зависят от других параметров, называемых вторичными: определить репер Френе — значит освободиться от этих параметров методами, изложенными в предыдущем параграфе, если это возможно, или привести их к наименьшему числу.

Мы будем называть главными компонентами нулевого порядка всякие линейные дифференциальные формы, не содержащие дифференциалов вторичных параметров; это, следовательно, будут линейные комбинации форм Всякая форма разлагается в сумму формы., содержащей только дифференциалы главных параметров, и формы содержащей только дифференциалы вторичных параметров; поскольку формы не содержат таких дифференциалов, имеем

в силу сделанных предположений формы независимы для

Мы будем обозначать через В часть дифференциалов функций, состоящую только из дифференциалов вторичных параметров.

Среди форм только форм будут независимыми, например первых, и мы имеем соотношения вида

уравнение (10.2) принимает теперь вид

где — полином второй степени относительно и полином первой степени.

Внешнее дифференцирование уравнений (10.4) дает теперь

или

Так как формы их независимы, то в силу теоремы Картана квадратные скобки будут линейными комбинациями форм с симметричной матрицей коэффициентов; следовательно, эти скобки не содержат дифференциалов вторичных параметров, и мы имеем

Эти уравнения дают дифференциалы величин при изменении вторичных параметров, т. е. они представляют инфинитезимальные преобразования группы оперирующей над этими параметрами.

Существует величин с, их совокупность образует пространство и в общем случае это пространство не принадлежит к числу тех, над которыми группа оперирует одинаково над всеми точками.

Пусть максимум размерности многообразий, описываемых образами некоторой точки при преобразованиях группы совокупность точек, которые описывают многообразие размерности вполне возможно, не заполняет пространство; это множество также может не быть связным. Тогда в пространстве существуют точки, которые описывают многообразия размерности меньше в этом множестве можно выделить множество таких точек, преобразования которых группой порождают многообразие наибольшей размерности разделить их на связные множества и т. д.

Следуя этим указаниям, мы разобьем пространство на связные множества, порождающие многообразия одной размерности; в силу результатов предыдущего параграфа число этих множеств конечно.

Если группа действует транзитивно на точках такого множества, мы выберем фиксированную точку как представляющую

это множество. Если нет, то мы будем представлять каждый класс транзитивности посредством инвариантов: инвариантов порядка 1 этого многообразия.

После того как коэффициенты будут, таким образом, фиксированы (это будут константы или функции от инварианта первого порядка), мы должны будем положить в уравнениях они дадут тогда некоторое число независимых соотношений между формами которые показывают, что формы, стоящие в квадратных скобках в уравнениях (10.5) не содержат более вторичных параметров, так что число их уменьшится после этих операций; это будут соотношения

которые вместе с уравнениями (10.3) образуют независимых соотношений между

Тогда будет существовать независимых главных компонент первого порядка (не зависящих также и от компонент нулевого порядка); это будут линейные комбинации форм, стоящих в скобках в уравнениях (10.5):

где нужно заменить дифференциалы на

вводя инвариантные производные от по отношению к формам . С другой стороны, в силу теоремы Картана имеем

Группа получается теперь приравниванием нулю, кроме форм (10.1), форм эта система Пфаффа вполне интегрируема; мы имеем, следовательно, уравнения вида (10.2), но в функциях будут встречаться также и индексы будут принимать только значений (можно предположить теперь, что

Внешнее дифференцирование даст систему, аналогичную системе (10.5), затем систему, аналогичную системе (10.6), и далее мы будем поступать, как выше, определяя реперы второго порядка. Мы будем продолжать это построение до тех пор, пока или не останется

вторичных параметров, или же уравнения, аналогичные системе (10.7), станут тождествами.

Если это имеет место для порядка то группа совпадает с группой уравнения (10.8) дают просто инвариантные производные до порядка по отношению к формам ; приведение не может произойти, так как реперы порядка выше совпадают с реперами порядка

Если нет более вторичных параметров сводится к тождественному преобразованию), то внешнее дифференцирование уравнений (10.8) дает условия интегрируемости; если остаются вторичные параметры, то это показывает, что в каждой точке многообразия элемент касания будет сингулярным бесконечного типа, многообразие будет особым.

Замечания. 1° Каждому из множеств особенных точек в и каждому из множеств точек, которые, возможно, придется выделять в эвклидовых пространствах, вводимых на каждой стадии приведения, соответствуют в принципе категория многообразий отличная от других; однако может случиться, что число этих категорий можно уменьшить соображениями ориентации.

2° На стадии определение группы часто не бывает необходимым; если рассмотреть уравнения вида (10.6) и положить

где подходящим образом выбранные константы, то возможно отсюда получить указания, позволяющие выбрать некоторые константы или выделить некоторые инварианты. Если это так, то число уравнений вида (10.6) сократится, так же как число независимых форм так можно действовать шаг за шагом.

3° Метод, который мы изложили, дает соотношения между формами со и инвариантами общего многообразия этой категории; для многообразия заданной параметризации разыскание инвариантных форм сводится всегда к процедуре, описанной в начале этого изложения: введению переменных как параметров в уравнения группы (или некоторых из них, если группа не транзитивна). Можно употреблять с этой целью различные способы; наиболее обычный состоит в вычислении некоторых алгебраических форм от дифференциалов (обычно квадратичных или кубичных), которые образуют, исходя из инвариантных линейных форм.

Примеры таких процедур можно найти во второй части этой книги, которая, по сути, не что иное, как ряд приложений этих теорий к частным случаям.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)