4. Теория пространственных кривых. Репер Френе.

Всякой точке кривой мы непосредственно поставим в соответствие реперы порядка 1, для которых вектор, касательный к кривой. Эти реперы зависят от шести параметров. Имеем и так как должен быть коллинеарен когда изменяются только вторичные параметры, то отсюда следует, что . Шестью вторичными назависимыми параметрами являются ;

Из равенства мы получаем внешним дифференцированием, принимая во внимание уравнения (1.6)

Новое внешнее дифференцирование дает

откуда для вариации вторичных параметров получаем

Так как коэффициентами при стоят независимые формы, то эти величины подвергаются наиболее общему центро-аффинному преобразованию.

В случае, когда редукция не может быть продолжена и соотношение показывает, что сохраняет фиксированное направление, реперы Френе являются реперами порядка 1 и кривая есть прямая.

В общем случае можно определить триэдры порядка 2, полагая Из приведенных выше соотношений следует, что (откуда и соотношения (4.1) и (4.2) запишутся в следующем виде:

Триэдры порядка параметра.

Новым внешним дифференцированием находим, что

откуда

Если задано, то подвергается наиболее общему линейному преобразованию; мы можем нормировать триэдр, положив После этого умножается на произвольный множитель. Мы определим триэдры порядка 3, взяв или Изучим различные случаи.

1° Частный случай: Из (4.3) и (4.4) и из предыдущих соотношений имеем:

Так как то кривая плоская, поскольку зависят только от мы возвращаемся к теории плоских кривых с группой общих аффинных преобразований.

Из соотношения получается с помощью внешнего дифференцирования, что

или для вариации

с определено только с точностью до постоянного множителя. Можно поэтому взять или

а. Случай Имеем редукция не может быть продолжена, триэдры Френе являются триэдрами порядка 3 и зависят от трех параметров. Остается только интегрировать, принимая во внимание условия интегрируемости.

Положим так как есть главная компонента. Уравнение записывается в виде что

Но мы видим, что это показывает, что I есть функция от и, и мы напишем Отсюда следует, что

Полагая имеем уравнения (2.3) (при k = 0), где заменены соответственно на и Мы имеем, таким образом, параболы, причем есть направление ее диаметра.

b. Случай Имеем и уравнение второй строчки в (4.5) принимает вид и дает посредством внешнего дифференцирования откуда Следовательно, осесть инвариантная линейная дифференциальная форма, поскольку она не содержит вторичных параметров. Мы обозначим ее через будет называться общей аффинной дугой. Полагая теперь мы видим, что есть инвариант, называемый общей аффинной кривизной, и уравнения запишутся в форме

Если мы рассмотрим эту кривую как лежащую в унимодулярном пространстве, то ее репер Френе будет зависеть еще от двух параметров: в самом деле, можно задать направление кроме того, мы еще имеем две вторичные компоненты:

Приведем интерпретацию аффинной дуги и аффинной кривизны. Полагая мы запишем предыдущее уравнение в виде

Это снова уравнения (2.3), где соответственно заменены на причем (вектор имеет, таким образом, направление аффинной нормали).

В зависимости от знака мы имеем

тем самым дуга и кривизна в общей аффинной геометрии выражаются через аналогичные величины в аффинной унимодулярной геометрии.

2°. Общий случай: Мы имеем для триэдров порядка 3, возвращаясь к уравнениям (4.4) и несколько изменяя обозначения:

Последнее из соотношений второй строчки показывает прежде всего, что т. е. линейная инвариантная дифференциальная форма: Мы видим, что ее вычисление вводит производные от до порядка 3. Как и ранее, а называется аффинной дугой.

То же соотношение дает с помощью внешнего дифференцирования

или для вариаций по вторичным параметрам

с определено только с точностью до прибавления постоянной. Мы нормируем триэдры, взяв откуда и для вторичных параметров Принимая во внимание эти соотношения при внешнем дифференцировании первого равенства второй строчки в (4.7), мы получаем, что

Вариация с по вторичному параметру дается уравнением

Определив шриэдр порядка 4 как триэдр, для которого (откуда ), мы уже не будем иметь вторичных параметров. Это будет триэдр Френе, для которого

Мы положим

два инварианта, называемых аффинными кривизнами. Прямые, несущие векторы называются соответственно аффинными главной нормалью и бинормалью; первая из них лежит в соприкасающейся плоскости.

Перемещения репера Френе определяются уравнениями

Легко сформулировать теорему существования и единственности.