9. Внешние квадратичные формы. Теорема Картана.

Рассмотрим внешнюю квадратичную форму, отличную от тождественного нуля:

например, с . Можно записать

и очевидно, что зависит трлько от переменных Положим

Форма зависит самое большее от переменных, и если она не обращается тождественно в нуль, то мы можем поступить с ней так же, как с формой вычесть из нее произведение вида получив форму не более чем переменных, и т. д. до тех пор, пока не придем к нулевой форме. Заметим, что формы и линейно независимы и что формы и (если приходится их рассматривать) не зависят линейно от и . В итоге мы можем высказать следующий результат:

Всякая внешняя квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду

где линейных форм линейно независимы.

Покажем, что число ранг формы, есть инвариант, т. е. если мы имеем равенство вида

где с одной стороны, и с другой стороны, — линейно независимые формы, то более того, линейные комбинации форм и Действительно, допуская, например, что не зависит от мы могли бы выбрать базис, содержащий возможно, еще другие формы. Но после упрощения правой части равенства осталось бы непременно внешнее произведение вида так как иначе не были бы линейно независимы, и предыдущее равенство было бы невозможно. Итак, линейные комбинации форм и Но обратное также имеет место, так что число этих форм одно и то же, т. е.

Рассмотрим, наконец, линейно независимых форм и пусть линейные формы, такие, что

Справедлив следующий результат (теорема Картана):

Для того чтобы равенство (9.1) имело место, необходимо и достаточно, чтобы формы были линейными комбинациями форм

причем матрица коэффициентов должна быть симметричной

Действительно, присоединим к формам еще других форм чтобы составить базис. Мы получаем тогда равенства вида

Равенство (9.1) переходит в равенство

коэффициент при члене для есть поэтому прежде всего необходимо, чтобы для Равенства (9.2), таким образом, имеют вид (9.2), а равенство переписывается в форме

откуда как и указано в формулировке теоремы.