2. Топологические пространства.

Пусть -множества элементов мы напомним следующие обозначения из теории множеств:

Запись (читается: е принадлежит Е) означает, что элемент входит в множество

Запись (читается: содержится в ) и запись (читается: содержит ) рзначают, что всякий элемент из является также элементом из говорят также, что есть подмножество множества

Через обозначается множество элементов, принадлежащих или т. е. объединение множеств

Через обозначается множество элементов, принадлежащих как так и т. е. пересечение множеств

Ничто как объект мысли, или пустое множество, будет обозначаться знаком .

Через обозначается множество тех элементов из которые не принадлежат если то множество называется дополнением множества (или просто дополнением к нет оснований опасаться недоразумений) и обозначается через

Пусть теперь -непустое множество и некоторое множество его подмножеств; говорят, что определяет топологическую структуру, или топологию, на если обладает следующими свойствами:

Аксиома Объединение множеств, каждое из которых принадлежит , также принадлежит ; пустое множество также входит в .

Аксиома II. Пересечение конечного числа множеств, принадлежащих также принадлежит множество принадлежит

Множества из называются открытыми множествами топологии, определенной на множестве при этом получает название топологического пространства, а элементы из называются точками.

Произвольное непустое множество всегда можно снабдить топологической структурой, например такой, что образовано из всего множества и пустого множества (топология наиболее слабая), или такой, которая получается, если 6 составить из всех множеств в содержащих только одну точку (топология наиболее сильная, или дискретная).

Пусть -подмножество в всякое годмножество в содержащее открытое множество , заключающее называется окрестностью множества Если состоит только из одной точки то всякая его окрестность называется окрестностью точки

Если множество открытое, то оно является окрестностью каждой своей точки, и наоборот.

Точка называется внутренней точкой множества если есть ее окрестность. Множество внутренних точек множества или внутренность множества может быть пустым множеством.

Точка называется внешней по отношению к если дна является внутренней точкой его допрлнения

Два топологических пространства называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное отображение на

которое переводит открытые множества пространства в открытые множества пространства и наоборот; такое отображение называется гомеоморфизмом.

Дополнение открытого множества называется замкнутым множеством. Опираясь на определение дополнения, из аксиом I и II получаем:

1° Пересечение любого числа замкнутых множеств есть множество замкнутое; все пространство замкнуто.

2° Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто; пустое множество замкнуто.

Точка всякая окрестность которой содержит точку данного множества называется точкой прикосновения множества Множество точек прикосновения множества называется также его замыканием и обозначается через говорят также, что для всякой точки из существуют точки из угодно близкие к ней, так как всякая точка, не принадлежащая к будет внешней по отношению к

Замыкание множества есть замкнутое множество; если множество замкнутое, то его замыкание совпадает с ним самим, и наоборот.

Операция замыкания — монотонная неубывающая операция, т. е. из На следует она дистрибутивна по отношению к объединению, т. е.

Точка, принадлежащая к и к называется граничной точкой множества множество граничных точек образует границу; граница, следовательно, есть множество

Множество называется плотным в замкнутом множестве если Оно называется всюду плотным, если оно плотно в

Из операции, относящихся к топологическим пространствам, мы отметим поямое, или топологическое, произведение. Напомним, что произведением двух множеств называется множество пар где . Если топологические пространства, то топологию в определяют, принимая за открытые множества объединения множеств вида открытые множества в Легко проверить, что аксиомы I и II При этом удовлетворяются. Множество снабженное этой топологией, называется топологическим произведением пространств