3. Геометрическая интерпретация. Конические сечения.

Рассмотрим две близкие точки кривой Точка пересечения касательных в этих двух точках задается формулами

Отсюда находим

Для площади треугольника получаем выражение

и, следовательно,

что дает геометрическую интерпретацию элемента аффинной дуги.

Чтобы иметь интерпретацию аффинной нормали, рассмотрим разложение в окрестности некоторой точки, скажем Имеем

Выбрав в качестве осей х и у оси, которые определяются векторами мы получаем, что

откуда следует, что приведенное уравнение кривой С имеет вид

Парабола имеет, следовательно, с кривой С касание по крайней мере порядка 3 в точке она будет соприкасающей параболой к кривой в этой точке. Ее диаметр, проходящий через есть ось у. Итак, аффинная нормаль к кривой С в точке есть проходящий через диаметр соприкасающейся параболы к С в этой точке.

Мы видим также, что в окрестности некоторой точки кривая лежит внутри соприкасающейся параболы, когда и лежит вне ее, когда Это дает интерпретацию знака

Между прочим, параболы характеризуются тем, что они имеют нулевую аффинную кривизну. Действительно, формулы Френе дают в этом случае или

где — постоянные векторы, а это уравнение, конечно, есть уравнение параболы

Группа (1.1) действует транзитивно над параболами плоскости, и заданная парабола сохраняется при преобразованиях подгруппы, переводящей один репер Френе в другой.

Приведем другое определение аффинной нормали. Прямая, параллельная касательной в точке и имеющая достаточно малую ординату пересекает кривую в двух точках с абсциссами которые стремятся к точке когда у стремится, к нулю, и мы имеем, например,

где (2) означает члены порядка по крайней мере 2. Полусумма имеет порядок по крайней мере 2 по отношению к точка описывает кривую, касательную к оси у. Итак, аффинная нормаль есть касательная в точке к геометрическому месту середин хорд, параллельных касательной.

Рассмотрим теперь кривые постоянной аффинной кривизны Уравнение

интегрируется без труда. Нужно различать два случая. Пусть — фиксированные векторы.

или

При кривая есть эллипс с центром с, имеющий сопряженными полудиаметрами; его площадь равна что дает интерпретацию аффинной кривизны. При кривая есть гипербола, имеющая сопряженными полудиаметрами и площадь параллелограмма, построенного на произвольных сопряженных полудиаметрах, равна

Аффинные нормали конического сечения проходят через его центр.

Коническое сечение сохраняется при преобразованиях однопараметрической подгруппы группы (1.1), переводящих реперы Френе один в другой.

Рассмотрим коническое сечение соприкасающееся к кривой С в точке Оно имеет с кривой касание порядка не ниже 4. Формула (3.2) показывает тогда, что имеют в этой точке одну и ту же аффинную кривизну, и этот результат дает интерпретацию аффинной кривизны.

Приведем еще одну интерпретацию. Будем искать огибающую аффинных нормалей (или аффинную эволюту) кривой С. Уравнение нормали имеет вид

где обозначает текущую точку. Дифференцирование по а дает

Сделаем, наконец; несколько замечаний о понятии плоской кривой в аффинной унимодулярной геометрии. Возвращаясь к уравнениям (2.3), мы видим, что понятие кривой получается из понятия аффинной дуги и уравнения

Вдоль некоторой дуги а должно всегда изменяться в одном направлении; следовательно, не должно менять знака, т. е. дуга должна быть выпуклой. За исключением аналитических кривых, для которых продолжение можно осуществить другими средствами, мы можем рассматривать, следовательно, только кривые, состоящие из одной выпуклой дуги. Те кривые, которые состоят из комбинаций дуг, имеющих точки перегиба (в которых репер Френе неопределен), можно изучать только по кускам; в целом их можно охарактеризовать только приемами, которые не принадлежат локальной дифференциальной геометрии.

Возвращаясь к выпуклой дуге С, мы видим, что существование аффинной кривизны требует существования элемента касания порядка 4; это мы потребуем в каждой точке кривой С, кроме, быть может, некоторого множества точек, наличие которых не мешает

применению теорем существования и единственности к предыдущему векторному дифференциальному уравнению. Так как формулировки имеющихся по этому вопросу теорем носят скорее аналитический характер, чем геометрический, то мы ограничимся требованием, чтобы была непрерывной функцией дуги.