4. Вычисление проективной дуги и проективной кривизны. Приведенное уравнение. Секстактические точки.

Вернемся к общему случаю и к представлению кривой С.

Можно определить три функции переменного такие, что

Действительно, они будут определяться уравнениями

которые допускают единственное решение, если

т. е. если линия не сводится к прямой.

Уравнения (2.7) имеют следствием равенство

Чтобы определить исходя из заданного представления кривой, положим тогда будем иметь, обозначая штрихом дифференцирование по параметру

Внесем эти выражения в уравнение (4.2) и запишем, что оно совпадает с уравнением (4.1) с точностью до множителя мы по лучим

Первое из этих соотношений дает с помощью дифференцирования найдем затем далее, из второго и третьего»

если продифференцировать второе, можно исключить и после довольно длинных выкладок мы найдем, что

Второе из уравнений (4.3) дает тогда 2

наконец, первое из уравнений (4.3) определяет X с точностью до множителя, который можно определить из (2.7), если написать

Рассмотрим, в частности, случай, когда ькривая задается уравнением

где у — функция переменной х. Мы находим, что

Удобно положить мы найдем тогда, что

Возьмем, в частности, в качестве репера репер Френе в точке мы должны иметь тогда затем, выписывая уравнения (2.7) в начале координат, найдем, используя предыдущие формулы,

Мы получаем сначала

затем

следовательно, можно положить

что показывает прежде всего, что соприкасающимся коническим сечением будет кривая отсюда получаем затем, что

равенство дает откуда Наконец, имеем

равенство дает

Таким образом, мы имеем следующую приведенную форму уравнения кривой в окрестности одной из ее точек:

Чтобы выяснить геометрический смысл прямой репера Френе, или проективной нормали, рассмотрим кривые третьего порядка, пересекающую нашу линию в восьми точках, совпадающих с началом координат; легко видеть, что речь идет о пучке кривых

Одна из этих кривых имеет двойную точку в начале координат: это кривая третьего порядка

одна ветвь которой имеет касание шестого порядка с кривой, в то время как другая ветвь имеет касательным направление т. е. направление проективной нормали.

Кривые третьего порядка (4.7), кроме начала, имеют еще девятую общую точку, определяемую равенствами

откуда виден геометрический смысл параметра

Вернемся к приведенной форме уравнения (4.6) и в качестве исходного репера возьмем вместо репера Френе репер четвертого порядка; коническое сечение будет соприкасающимся коническим сечением кривой в начале координат, и мы получим опять представление вида

Формулы перемещений репера будут в силу уравнений (2.4) иметь вид

Напишем теперь условие того, что точка остается неподвижной в плоскости (пусть ); мы будем иметь

откуда, принимая во внимание разложение (4.8), получим

сравнивая члены с находим, что

Но точка, в которой равно нулю, есть точка перегиба кривой, и в такой точке нельзя даже определить реперы второго порядка; мы должны, следовательно, исключить эти точки из нашего рассмотрения; предыдущее равенство показывает, что равенство влечет за собой равенство и наоборот; соприкасающееся коническое сечение имеет, следовательно, касание с кривой по меньшей мере пятого порядка; такая точка называется секстактической. Таким образом, приведенная форма уравнения (4.6) имеет место только тогда, когда точка не будет секстактической, и, следовательно, только в таких точках можно определить репер Френе. Это позволяет нам уточнить понятие плоской дуги с точки зрения точечного пространства в проективной геометрии: это будет дуга, имеющая в каждой точке непрерывный элемент касания седьмого порядка и не имеющая ни точек перегиба, ни секстактических точек.