6. Метрические пространства.

Множество называется метрическим дространством, если всякой паре его различных или совпадающих элементов называемых точками, поставлено в соответствие число называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами:

1° Из следует, что совпадают, и наоборот.

2° Неравенство треугольника: каковы бы ни были точки множества Для это неравенство дает иначе говоря, расстояние между двумя точками положительно или равно нулю. В силу свойства 1° расстояние между различными точками положительно.

Полагая в неравенстве треугольника мы получим, что для любых точек но справедливо и обратное неравенство откуда Таким образом, расстояние есть неотрицательная и симметричная функция пары точек. Шаром с центром и радиусом называют множество таких точек из что

Это понятие позволяет ввести в множество топологическую структуру: подмножество О из будет называться открытым, если для любой точки существует шар с центром (сферическая окрестность точки ), все точки которого принадлежат О.

Неравенство треугольника показывает прежде всего, что шар — открытое множество, и ясно, что аксиома I § 2 удовлетворена. Что касается аксиомы II, то пусть открытые множества. Всякая точка их пересечения О, рассматриваемая как точка, принадлежащая к будет центром шара радиуса лежащего в . Шар с центром и радиусом, равным наименьшему из содержится в множестве О, которое, следовательно, будет открытым. Таким образом, аксиома II удовлетворена. Множество становится,

таким образом, топологическим пространством, определенным его метрикой, заданием расстояния между его точками, которое называется метрическим пространством. Всякое подпространство метрического пространства есть метрическое пространство.

Одна и та же топология может быть индуцирована на множестве введением двух разных метрик. Чтобы две метрики индуцировали одну и ту же топологию, необходимо и достаточно, чтобы всякий шар, определяемый первой метрикой, содержал шар с тем же центром, определенный второй метрикой, и наоборот. Так как сферические окрестности в первой топологии являются открытыми множествами этой топологии, то непосредственно видно, что они будут открытыми множествами и второй топологии, и наоборот. Этого достаточно, чтобы установить указанный результат, ибо как в той, так и в другой топологии всякое открытое множество есть объединение шаров.

Диаметром множества А в метрическом пространстве называется верхняя грань расстояния между двумя точками р и q этого множества, если она существует (если же эта грань не существует, то говорят, что множество имеет бесконечный диаметр).

Рассмотрим несколько свойств метрических пространств.

1° Возьмем две разные точки и пусть Шары с центрами в точках радиуса не имеют бощих точек, и они будут окрестностями точек Следовательно, у любых двух различных точек метрического пространства имеются непересекающиеся окрестности. Топологическое пространство, удовлетворяющее этому условию, называют отделимым или хаусдорфовым» Следствием отделимости является тот факт, что множество, состоящее из одной точки, замкнуто.

Говорят, что последовательность точек сходится к точке или имеет пределом, если каждой окрестности V точки соответствует такой индекс что для имеем Последовательность называется тогда сходящейся.

В отделимом пространстве сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пишут:

Следствие. Всякая подпоследовательность, выделенная из последовательности, сходящейся к точке сама сходится к

2° Пусть непрерывная функция, определенная в метрическом пространстве со значениями тоже в метрическом пространстве Непрерывность функции в точке выражается словами: всякому можно поставить в соответствие такое число что

Понятие сходимости последовательности функций, понятие равномерной сходимости, тот факт, что равномерно сходящаяся последовательность функций, непрерывных в со значениями в сходится к непрерывной Функции все это легко переносится на метрические пространства.

3° Замыкание шара с центром содержится в множестве так как если такая точка, что то шар с центром и радиусом не содержит ни одной точки шара следовательно, не принадлежит к замыканию этого шара.

Отсюда следует, что всякая окрестность точки в метрическом пространстве содержит замкнутую окрестность.

Топологическое пространство, обладающее этим свойством, называется регулярным.

4° В дальнейшем мы будем иметь дело с метрическими пространствами, в которых существует счетное всюду плотное множество Такие пространства называются сепарабельными. Рассмотрим шары с рациональными радиусами о и с центрами в различных точках из множество этих шаров тоже будет счетным множеством, поскольку множество положительных рациональных чисел счетно.

Всякое открытое множество О есть объединение таких шаров. В самом деле, точка множества О является центром шара радиуса содержащегося в О, а в шаре радиуса с центром существует точка из поскольку плотно. Шар с центром такого рационального радиуса а, что содержит точку и сам содержится в О. Множество О есть, таким образом, объединение шаров

Всякое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно. Действительно, достаточно выбрать по точке из в каждом шаре пересечение которого с непусто; мы получим тогда счетное множество, плотное в

Пространства, которые мы будем в дальнейшем рассматривать, всегда будут предполагаться сепарабельными.

5° Сепарабельное метрическое. пространство обладает следующим свойством: для двух замкнутых множеств без общих точек можно всегда найти два содержащих их открытых множества без общих точек.

Топологические пространства, которые обладают этим свойством, называются нормальными.