10. Условия интегрируемости в терминах форм ...
Мы положим
где 
симметричны. Так как 
инварианты, то 
с одной стороны, 
с другой стороны, — компоненты симметричных тензоров. Мы будем употреблять обозначения и операции из 
.
Мы должны сначала выразить, что 
могут быть одновременно приведены к виду (9.1) и (9.6). Имеем
откуда
Это равенство записывается следующим образом, если взять 
в форме (10.1) (условия аполярности):
Дифференцируя (10.2) по 
находим
Отсюда
Принимая во внимание равенства 
мы выводим отсюда, что
что дает выражение для аффинной кривизны.
Теперь нужно выписать условия интегрируемости. Дифференцируя (9.2), имеем в силу 
Возвращаясь к формуле 
, мы напишем
Принимая во внимание симметрию 
по 
заключаем, что
С другой стороны, из равенства
с помощью леммы Риччи получаем, что
Мы имеем, таким образом, четыре уравнения, позволяющие вычислить 
для 
Получаем
Эти выражения имеют место и тогда, когда 
. В этом можно убедиться, дифференцируя или, исходя из равенств 
ковариантное дифференцирование которых дает, как нетрудно видеть,
Внося найденные выражения в (10.6) и возвращаясь к 
вместо 
мы находим, что члены, содержащие 
в качестве сомножителя в коэффициенте при 
сводятся к
и мы имеем окончательно, принимая во внимание равенство 
Положим 
Имеем, используя формулы (10.7),
Скобка содержит двенадцать членов, получающихся из членов выражения для 
заменой 
на 
. Мы находим, что
Положим, с другой стороны,
В силу формул системы 
дающих 
можно написать
Используя (9.4) для того, чтобы выразить инвариантные производные кривизны 
имеем
Перепишем окончательно формулу:
Из выражений (10.10) для тензора 
выводим, что
Отсюда мы получаем соотношение
эквивалентное соотношению 
Чтобы подсчитать 
в терминах 
мы заметим, что в силу 
где С обозначает кривизну формы 
Уравнение системы 
запишется тогда в виде
Остается выразить два последних условия интегрируемости, относящиеся к 
Полагая
находим, что
Вычислим вторые производные 
Используя (10.7), имеем
Симметрия по I и по 
дает, следовательно,
Принимая во внимание (10.3) и (10.12), из этих соотношений получаем, наконец,
Окончательно имеем следующую теорему (Радона):
Неразвертываю щаяся поверхность определяется, с точностью до аффинного унимодулярного преобразования, заданием двух дифференциальных форм 
имеет отличный от нуля дискриминант), если эти формы связаны соотношением аполярности (10.3) и условиями (10.14). При этом К определяется формулой (10.5), 
— формулой (10.13) и 
формулой (10.11).
Упражнения
(см. скан)
