5. Вычисление инвариантов. Квадратичные формы.

Речь идет теперь о том, чтобы, отправляясь от представления конгруэнции [при помощи векторов или вектора и направляющей поверхности ], подсчитать инвариантные линейные формы и инварианты. Прежде всего имеем

это первая квадратичная форма конгруэнции, которая представляет собой не что иное, как линейный элемент сферы .

Полагая затем

видим, что

но

следовательно,

это вторая квадратичная форма конгруэнции. Отсюда

и главные параметры распределения будут значениями для которых дискриминант формы равен нулю; мы имеем соотношения

определяющие и инвариантные линейные формы (конечно, с точностью до знака). Уравнения (3.6) дают затем .

Как и в теории поверхностей, главные направления даются уравнением

фокальные плоскости определяются уравнением

Уравнение, которое дает имеет вид

Нам остается показать, как определяется средняя точка. Заметим прежде всего, что

и, как непосредственно видно из предыдущих формул,

уравнение (5.5) запишется теперь так:

отсюда