6. Формула Эли Картана. Конгруэнции нормалей.
Рассмотрим на сфере 
простую замкнутую кривую у, границу области 
пробегая ее в положительном направлении по отношению к области 
будем иметь
или
— это и есть формула Эли Картана, аналогичная формуле Оссиана Бонне в теории поверхностей. Чтобы ее интерпретировать, рассмотрим линейчатую поверхность конгруэнции, направляющий конус которой имеет линию у своим базисом. Ортогональные траектории ее прямолинейных образующих определятся, если записать, что 
где 
это дает
Формула Картана может быть записана теперь следующим образом:
т. е. ортогональная траектория, выходящая из заданной точки образующей и пробегаемая в том положительном направлении, которое определено на 
, снова пересечет образующую в точке, абсцисса которой, отсчитываемая от точки отправления» будет равна правой части соотношения (6.2).
Следовательно, вообще говоря, ортогональные траектории не замыкаются; но они будут всегда замыкаться, если 
В этом случае форма 
будет полным дифференциалом, и мы видим, что конгруэнция будет конгруэнцией нормалей к поверхности
Обратно, если конгруэнция состоит из нормалей, то второе соотношение показывает нам, 
форма 
должна быть полным дифференциалом, следовательно, 
Таким образом:
Необходимым и достаточным условием того, чтобы конгруэнция была нормальной, является выполнение равенства
Формула (4.4) показывает теперь, что фокальные плоскости соответствуют углам 
они, следовательно, взаимноперпендикулярны [результат, который мы уже получили в 
] и совпадают с граничными плоскостями; фокусы совпадают с граничными точками.
