6. Формула Эли Картана. Конгруэнции нормалей.

Рассмотрим на сфере простую замкнутую кривую у, границу области пробегая ее в положительном направлении по отношению к области будем иметь

или

— это и есть формула Эли Картана, аналогичная формуле Оссиана Бонне в теории поверхностей. Чтобы ее интерпретировать, рассмотрим линейчатую поверхность конгруэнции, направляющий конус которой имеет линию у своим базисом. Ортогональные траектории ее прямолинейных образующих определятся, если записать, что где это дает

Формула Картана может быть записана теперь следующим образом:

т. е. ортогональная траектория, выходящая из заданной точки образующей и пробегаемая в том положительном направлении, которое определено на , снова пересечет образующую в точке, абсцисса которой, отсчитываемая от точки отправления» будет равна правой части соотношения (6.2).

Следовательно, вообще говоря, ортогональные траектории не замыкаются; но они будут всегда замыкаться, если

В этом случае форма будет полным дифференциалом, и мы видим, что конгруэнция будет конгруэнцией нормалей к поверхности

Обратно, если конгруэнция состоит из нормалей, то второе соотношение показывает нам, форма должна быть полным дифференциалом, следовательно, Таким образом:

Необходимым и достаточным условием того, чтобы конгруэнция была нормальной, является выполнение равенства

Формула (4.4) показывает теперь, что фокальные плоскости соответствуют углам они, следовательно, взаимноперпендикулярны [результат, который мы уже получили в ] и совпадают с граничными плоскостями; фокусы совпадают с граничными точками.