7. Уравнения структуры классических групп.

1° Проективная группа. Установим несколько элементарных понятий; геометрических точек пространства скажем с координатами называются линейно независимыми, если

это означает, что эти точки не принадлежат линейному многообразию размерности Детерминант (7.1) определен с точностью до множителя когда заданы эти геометрических точек, так как их координаты задаются с точностью до множителя.

Репер в пространстве образован линейно независимыми точками и еще одной точкой, относительные координаты которых заданы (всегда с точностью до множителя). Таким образом, если рассматривать точки с координатами то эти точки сами по себе не образуют репера; надо еще задать, например, точку

с координатами которая не принадлежит никакому линейному многообразию размерности определяемому точками из Совокупность реперов, имеющих базой точки зависит от параметров; можно представить их в виде

где можно принять, например, что означает отождествление реперов

Рассмотрим теперь преобразования

нас интересует здесь не совокупность этих аналитических преобразований, а совокупность геометрических преобразований, которые им соответствуют; два аналитических преобразования с геометрической точки зрения тождественны, если геометрической точке они ставят в соответствие одну и ту же геометрическую точку Мы видим, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы это было так, состоит в том, чтобы коэффициенты этих преобразований были пропорциональны: откуда Мы получаем, следовательно, связную компоненту единицы в группе геометрических проективных преобразований, полагая

причем остаются произвольными параметров. Отправляясь теперь от фиксированного репера мы можем задать переменный репер координатами точек, которые его определяют (а не , как было раньше); репер будет определяться относительными координатами точек, которые его определяют и которые записываются в виде

где — линейные дифференциальные формы. Эти форм с переменными связаны между собой посредством

соотношения, выражающего, что а именно

что

Точка тк имеет дифференциалом

записывая, что находим

коэффициент при следовательно, равен нулю; откуда, меняя обозначения, имеем

Вместе с соотношением (7.4) эти уравнения образуют уравнения структуры проективной группы.

2° Аффинная группа. В пространстве структура которого задается посредством уравнений (I, 20.1)

отправляясь от репера определенного началом и осями координат переменный репер можно образовать заданием начальной точки линейно независимых векторов и, как выше, можно записать

где линейные дифференциальные формы от переменных Условия интегрируемости немедленно дают уравнения структуры

Уравнения структуры пространства получаются, если точку зафиксировать в начале координат это будут уравнения второй системы (7.7).

Для унимодулярной группы, необходимо прибавить к (7.7) соотношение

3° Группа движений. Эта группа является подгруппой аффинной группы; к уравнениям (7.7) надо присоединить те, которые получаются, если принять во внимание соотношения

или

что

таблица форм со кососимметрична [в частности, , откуда следует (7.8)].