6. Симметричные и антисимметричные тензоры.

Допустим, что тензор имеет в некотором базисе координаты, симметричные по Это свойство сохраняется в любом базисе, так как

Следовательно, свойство симметрии есть свойство самого тензора и не зависит от выбора системы координат. Такой тензор называется симметричным по Так, например, сумма

где х имеет компоненты а у — компоненты есть тензор с компонентами

очевидно, симметричный.

Вообще, рассмотрим тензор, имеющий по крайней мере контравариантных индексов

и предположим, что, какова бы ни была перестановка первых чисел (индексов), в некоторой системе локальных координат

Легко показать, что совокупность таких равенств остается справедливой в произвольной системе координат. Тензор называется тогда симметричным по отношению к выделенным коятравариантным индексам.

Симметрия по отношению к некоторым ковариантным индексам определяется совершенно таким же образом.

Пусть, далее, тензор Небольшое видоизменение в формуле (6.1) показывает, что если в некотором базисе для любых имеем

то это равенство сохраняется при любом преобразовании базиса; тензор называется тогда антисимметричным.

Вообще, задавая тензор в котором выделено первых контравариантных индексов, говорят, что он антисимметричный по отношению к этой совокупности индексов, если

когда по крайней мере два индекса из равны,

когда индексы попарно различны; здесь имеет значение 0, если есть четная перестановка системы и значение 1, если эта перестановка нечетная. Можно показать, что это свойство, не зависит от выбора базиса.

В силу этого определения тензор, антисимметричный по отношению к контравариантным индексам, может быть отличен от нуля только при

Для ковариантных индексов имеем аналогичное определение.