3. Конические сечения.

Нам остается рассмотреть случай, когда реперы четвертого порядка даются уравнениями

редукция не может дальше продолжаться; триэдры Френе будут реперами четвертого порядка, они зависят от двух вторичных параметров [действительно, остаются две вторичные компоненты ].

Формулы перемещений репера соответствующих кривых будут иметь вид

с условиями интегрируемости

Напишем теперь, развертывая уравнения (3.1):

Пусть — начальный репер; имеем первые интегралы:

Принимая во внимание, что формы не равны тождественно нулю, легко заметить, что если предположить или тождественно равными нулю, то мы придем к противоречию. Следовательно, в уравнениях второго столбца можно заменить их значениями, взятыми из уравнений первого столбца. Мы получаем

Умножая эти равенства соответственно на и складывая, находим

Предположение, что дает что невозможно; имеем, следовательно, и окончательно после возведения квадрат

Следовательно, кривая будет коническим сечением, и уравнения (3.4) можно записать, заменяя в случае необходимости на в виде

Возьмем теперь представление кривой (3.5) вида

где геометрический параметр, аналитический параметр. Уравнения (3.6) и (3.3) позволяют теперь написать

Параметр фиксирует на кривой геометрическую точку реперы Френе зависят в каждой точке от двух параметров точка также принадлежит коническому сечению, а есть точка пересечения касательных в точках (рис. 44).

Рис. 44.

Уравнения (3.2) будут уравнениями структуры группы с тремя параметрами, сохраняющими инвариантным коническое сечение. Эту группу легко определить: мы найдем, что преобразование, которое переводит репер в репер переводит геометрическую точку в точку

мы имеем, как и следовало ожидать, проективное преобразование конического сечения в себя.