10. Изучение связности в окрестности точки.

Рассмотрим изображение С кривой с, исходящей из в аффинном пространстве касательном к многообразию в точке и рассмотрим точечное отображение в окрестности на это пространство Пусть обраа кривой с при отображении в. Попытаемся определить в таким образом, чтобы порядок касания в точке был максимально высоким для всей совокупности кривых .

Воспользуемся нормальными координатами в Кривая с будет задана уравнением

С другой стороны, интегрируя (9.2), имеем

где обозначает частную производную тензора по в начале координат. Отсюда

где последнее равенство получается в силу антисимметрии тензора Отсюда получаем, что

Итак, изображение кривой определяется уравнением

Отсюда следует, что преобразование в, ставящее в соответствие точке многообразия точку касательного пространства в таково, что кривые имеют в касание по крайней мере второго порядка.

Чтобы продолжить это изучение, вычислим члены более высокого порядка. Мы найдем

Антисимметрия по тензора Т влечет антисимметрию откуда

и мы получаем, что

Отсюда выводим, что для существования соответствия в, при котором в то всякая пара кривых имеет касание по крайней мере третьего порядка, необходимо и достаточно, чтобы тензор кручения был равен нулю в этой точке. Одним из таких соответствий будет соответствие, которое сопоставляет точке многообразия точку касательного пространства.