ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Единственная
глава
1. Формулы перемещений репера. Перемещения коррелятивного репера.
В этой главе мы будем излагать теорию кривых в 
и теорию кривых и поверхностей в 
мы ограничимся выводом формул Френе в общем случае; только в случае плоских кривых мы будем говорить о частном случае конических сечений. Напомним сначала формулы перемещений репера 
. В проективной плоскости 
точку которой мы обозначим через 
будем рассматривать реперы 
(называемые нормированными), образованные тремя аналитическими точками 
с определителем
Мы видели, что для проективной группы
нормированной равенством
инфинитезимальные преобразования имеют вид
с уравнениями структуры
Заметим, что эти соотношения — не что иное, как соотношения, описывающие перемещения триэдра с фиксированным началом в
аффинном унимодулярном пространстве трех измерений 
; геометрически это выражает тот факт, что, если рассматривать координаты аналитической точки как координаты точки аффинного пространства, то формула (1.1) для нормированного репера показывает, что тетраэдр с вершинами 
и началом координат О имеет объем 1/6, тогда как формулы (1.2) показывают, что нормированные преобразования можно интерпретировать как аффинные унимодулярные преобразования, оставляющие неподвижным начало.
Всякому нормированному реперу из аналитических точек 
коррелятивно присоединим репер, образованный геометрически прямыми 
и 
аналитически мы его будем определять в коррелятивной плоскости аналитическими точками 
с
(если 
координаты точек 
то произведение а по определению будет равно числу 
).
Чтобы изучать одновременно перемещения репера и присоединенные перемещения его коррелятивного репера, положим
Дифференцируя уравнение (1.5), получим тогда
откуда
следовательно, матрица компонент 
не что иное, как матрица, получаемая из матрицы 
транспонированием и изменением знака.
В пространстве 
с координатами 
аналитической точки 
мы будем рассматривать нормированные реперы 
и нормированные преобразования
Формулы инфинитезимальных перемещений репера и уравнения структуры аналогичны предыдущим уравнениям (1.3) и (1.4), но индексы изменяются теперь от 1 до 4; коррелятивный репер и его перемещения задаются формулами, аналогичными (1.5), (1.6) и (1.7), с той же заменой.
