ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга представляет собой учебник аналитической геометрии в ее традиционном понимании, написанный на основании лекций, которые я в течение многих лет читал в Московском университете и которые пополнены, как это и сказано в заглавии, необходимыми сведениями из алгебры. Книгу эту, предназначенную для университетских студентов-первокурсников, я старался писать так, чтобы она была доступна каждому студенту — при единственном условии, что он вообще склонен к математике и желает серьезно заниматься ею.

Из вещей, не входящих в программу средних классов общеобразовательной школы, эти «Лекции» предполагают лишь знание комплексных чисел, так что книга может служить и целям самообразования; я думаю, что она доступна всем тем учащимся старших классов средней школы, которые любят математику, интересуются ею и готовы шаг за шагом ее изучать, не стремясь во что бы то ни стало начинать это изучение с постижения так называемых «последних слов науки».

На русском языке написано немало хороших учебников аналитической геометрии. Мы с благодарностью помним классические курсы К. А. Андреева и Б. К. Млодзеевского, относящиеся к началу текущего столетня. Превосходный для своего времени курс С. С. Бюшгенса примыкает к курсу Б. К. Млодзеевского, оставаясь в том же кругу идей и в некотором роде развивая их.

Новым словом в учебной литературе по аналитической геометрии явились курсы Н. И. Мусхелишвили и Б. Н. Делоне (последний в соавторстве с Д. А. Райковым). Все первые годы своего преподавания аналитической геометрии в Московском университете я в основном опирался именно на курс Н. И. Мусхелишвили, и влияние его на мой учебник, несомненно, значительно. Можно только радоваться предстоящему выходу в свет нового, четвертого издания этой, уже ставшей классической книги.

Что касается Б. Н. Делоне, то богатство его геометрических идей делает его книгу (совместную с Д. А. Райковым) образцом геометрического мышления и изложения, который сохраняет и на многие годы сохранит свое значение.

Упомянутые мною книги непохожи друг на друга. Я думаю, что и книга, предлагаемая сейчас вниманию читателя, не очень похожа на своих предшественниц (названных выше), хотя и несет на себе печать влияния каждой из них. В то же время я не стремился к оригинальности, а оставался — более или менее — в традиционных пределах. Никакого «нового слова» в моих «Лекциях» читатель не найдет. Однако если два разных человека пишут об одном и том же, то обычно получаются разные вещи, и это давно известно. Можно не перечислять, чем именно отличается мой учебник от предшествующих ему: когда дело касается такого элементарного предмета, как аналитическая геометрия, то всякий, кому до этого есть дело, сам заметит, если есть что-нибудь новое в изложении. Впрочем, сделаю все же одно замечание. Элементарные сведения по проективной геометрии даются лишь в главах XXI—XXIII, так что весь обычный материал аналитической геометрии излагается с аффинной и метрической точек зрения. Однако мне представляется наиболее интересным рассматривать, например, аффинные свойства невырождающихся кривых второго порядка как относящиеся к геометрии проективной плоскости с выделенной на ней несобственной прямой — для того хотя бы, чтобы у всех этих кривых был центр и чтобы диаметры были просто прямыми, проходящими через этот центр. С другой стороны, изучая кривые на вещественной плоскости, я предпочитаю ее рассматривать как вещественную плоскость, погруженную в комплексную плоскость (со всеми ее четырьмя «вещественными» измерениями). Другими словами, я считаю законным и интересным среди всех преобразований координат (на комплексной плоскости) выделить особо преобразования с вещественными коэффициентами, так что вся комплексная плоскость мыслится мною (как во времена Понселе!) в виде вещественной плоскости, «пополненной мнимыми (т. е. не вещественными) точками». Это для того, чтобы у каждой вещественной невырождающейся кривой второго порядка были две асимптоты — вещественные (быть может, совпадающие) или мнимые (и сопряженные) — и чтобы эти асимптоты были касательными к данной кривой в ее бесконечно удаленных точках (вещественных или мнимых); в особенности же для того, чтобы — после того как введена метрика — все окружности пересекались в одних и тех же двух мнимых «круговых» точках несобственной прямой. Теорема о том, что через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести одну-единственную окружность, становится, таким образом, следствием того, что через пять точек можно, вообще говоря, провести лишь одну кривую второго порядка, а две точки — именно две «круговые» — принадлежат всем без исключения окружностям: 5 — 2 = 3.

Этот факт, когда я впервые узнал его, поразил меня своей непосредственной математической красотой — впечатление, сохранившееся у меня на всю жизнь. Хорошо, чтобы начинающие математики как можно раньше получали такие впечатления от своей науки!

Эта книга никогда не была бы написана, если бы А. С. Пархоменко не побеждал меня самым настойчивым образом к ее написанию и если бы он не оказал мне в осуществлении этой своей инициативы совершенно исключительной помощи. Иногда — особенно в главах ХVIII и XIX — эта помощь переходила в настоящее соавторство. Первоначальный вариант главы XVIII основывался на определении эллипсоидов (и других поверхностей второго порядка) их уравнениями канонического вида, но по отношению к той или иной (произвольной) аффинной системе координат. Недостатки такого способа изложения значительно превосходили его возможные достоинства, в чем меня и убедил А. С. Пархоменко. В результате его содействия главы XVIII и XIX подверглись коренной переработке с большим участием А. С. Пархоменко. Но это только один пример сотрудничества я помощи, оказанных мне А. С. Пархоменко. Помимо помощи при написании отдельных параграфов (например, § 8 главы XXI и во многих других местах), А. С. Пархоменко внимательнейшим образом прочитал и отредактировал всю книгу с первой ее строчки до последней, сделав огромное количество отдельных, часто существенных замечаний, содействовавших значительному улучшению книги. Наконец, уже из заглавия книги можно узнать, что А. С. Пархоменко составил все задачи, а задачи эти являются необходимой и существенной частью книги. А. С. Пархоменко снабдил составленные им задачи решениями — во всех случаях, когда для этого имеется хоть малейший повод. Это обстоятельство — при той цели, которую преследуют эти «Лекции», — представляется мне очень важным: всякому понятно, что нельзя овладеть таким предметом, как аналитическая геометрия, не решая относящиеся к нему основные задачи. Но решению задач, надо научить, и в собрании задач, которым А. С. Пархоменко так удачно дополнил эти «Лекции», он не только предлагает задачи, но и учит их решать.

Подводя итог только что сказанному, могу лишь добавить, что мне очень трудно найти слова, адекватно выражающие то искреннее чувство глубокой благодарности, которое я испытываю по отношению к А. С. Пархоменко за все его многообразное участие и за всю его незаменимую помощь при написании этой книги.

Приношу искреннюю благодарность рецензентам этой - книги — профессору Л. Д. Кудрявцеву и академику АН ГрузССР Г. С. Чогошвили, а также членам возглавляемой академиком Г. С. Чогошвили кафедры Тбилисского государственного университета за ценные замечания, которыми я постарался воспользоваться и которые, несомненно, послужили улучшению изложения.

Я сердечно благодарен В. А. Логвиновой, которая сотрудничала с А. С. Пархоменко во всей его работе над этой книгой. В частности, В. А. Логвинова выполнила все чертежи, за исключением чертежей 140 и 235, за которые я благодарен А. Б. Сосинскому.

Я благодарен также моим ученикам — доктору физико-математических наук В. И. Пономареву и студенту 5-го курса В. Зайцеву за содействие и помощь, в различных формах оказанные мне ими при моей работе.

Высокая квалификация и тщательность, проявляемые Анатолием Филипповичем Лапко в качестве редактора математических сочинений, хорошо известны очень многим математикам нашей страны (в частности, всем читателям «Успехов математических наук»). А. Ф. Лапко не отказался быть редактором и этой книги, выполнив взятые на себя обязанности па обычном для него высоком уровне. Я ему очень признателен за это.

Я искренне благодарен сотруднице кафедры высшей геометрии и топологии Московского университета Галине Всеволодовне Наркевич-Иодко за огромную работу, проведенную ею по окончательному оформлению обширной и сложной рукописи этих «Лекций».

Наконец, я приношу глубокую благодарность математической редакции издательства «Наука» в лице Н. А. Угаровой за внимание, доброжелательность, снисходительность и терпение, проявленные ею ко мне, как к автору этого сочинения, по разным поводам и в разной форме.

П. Александров

Болшево, Комаровка, 28 января 1967 г.