§ 4. Подпространства векторного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе векторного пространства

1. Определение подпространства векторного пространства.

Пусть в векторном пространстве V дано множество векторов L, удовлетворяющее следующим условиям:

1° Каковы бы ни были векторы их и из L, их сумма также принадлежит множеству .

2° Каковы бы ни были вектор и из и число X, вектор . также принадлежит множеству .

Всякое множество L, удовлетворяющее этим двум условиям, называется подпространством векторного пространства V. Условия 1° и 2° в своей совокупности, очевидно, эквивалентны одному условию:

3° Всякая линейная комбинация векторов , принадлежащих множеству L, есть вектор, принадлежащий этому множеству.

Поэтому подпространство векторного пространства V может быть определено как множество L, удовлетворяющее условию 3°.

Замечание 1. Пусть все элементы векторного пространства U являются в то же время элементами векторного пространства V, причем линейные операции над векторами в У те же самые, как и в объемлющем пространстве V. Тогда U, рассматриваемое как множество векторов пространства V, очевидно, удовлетворяет условиям 1°, 2°.

Очевидно и обратное: всякое множество , удовлетворяющее этим условиям, есть векторное пространство, элементы которого суть векторы из V, причем линейные операции в U те же, что и в .

Итак, мы можем определить векторное подпространство пространства V как всякое векторное пространство, элементы которого суть векторы пространства V, а линейные операции над ними — те же, что и в V.

Замечание 2. Очевидно, все пространство V, а также пространство, состоящее из одного нулевого вектора, являются подпространствами пространства V.

Пусть теперь В — какое-нибудь, совершенно произвольное, конечное или бесконечное, множество векторов пространства V. Рассмотрим множество В, состоящее из всех векторов, являющихся линейными комбинациями всевозможных векторов, принадлежащих множеству В. Очевидно, множество В удовлетворяет условиям 1° и 2° и поэтому является подпространством пространства это подпространство называется подпространством, порожденным множеством В, или линейной оболочкой (или линейным замыканием) множества В; множество В в свою очередь называется множеством, порождающим пространство В, или множеством или системой образующих пространства В.

Может, разумеется, случиться, что пространство В совпадает со всем пространством V, например, если есть какой-нибудь базис пространства V. Итак, всякий базис пространства V является системой его образующих, притом линейно независимой. Мы скоро докажем и обратное предложение: всякая линейно независимая система образующих векторного пространства является его базисом.

Пример. Пусть на плоскости даны две пересекающиеся прямые , обозначим через множество всех векторов, коллинеарных прямой а через — множество всех векторов, коллинеарных прямой каждое из этих двух множеств является (одномерным) подпространством пространства V всех векторов плоскости, но объединение множеств векторным пространством не является (почему?). Между тем векторное пространство В, порожденное множеством все пространство V.

Следующее очень важное предложение почти очевидно.

Теорема 3. Если подпространство L конечномерного векторного пространства V имеет ту же размерность, что и V, то оно совпадает со всем V.

Доказательство. Пусть L и V имеют одну и ту же размерность . Возьмем в L линейно независимую систему из векторов эта система является базисом обоих пространств: L и V. Поэтому каждый вектор будучи линейной комбинацией векторов (содержащихся в L), принадлежит подпространству L, т. е. VL, и, значит, .

2. Теорема Штейница «о замене». Теперь будет доказана одна из основных теорем, касающихся векторных подпространств и линейной независимости векторов в них, так называемая

Теорема Штейница «о замене» (теорема 4). Пусть дано векторное пространство V, порожденное (конечным) множеством своих элементов

Пусть, кроме того, в V дана линейно независимая система, состоящая из векторов

Тогда непременно и среди векторов их, можно какие-то векторов вычеркнуть и заменить векторами , так что получится вновь совокупность векторов, порождающая пространство V.

Докажем эту теорему посредством индукции по . Пусть дана система векторов (1), порождающая векторное пространство V, и линейно независимая система (2), состоящая из одного вектора ; это означает просто, что в V дан вектор . Тогда, прежде всего, .

Так как а V состоит из линейных комбинаций векторов , то

причем по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля; пусть, например, 0. Тогда вектор есть линейная комбинация вектора и векторов , а именно:

Всякий вектор есть линейная комбинация векторов

Заменяя в этом равенстве через его выражение (3), получим после приведения подобных членов равенство вида

показывающее, что вектор есть линейная комбинация вектора и векторов . Итак, при теорема Штейница доказана.

Докажем ее теперь для , предполагая ее уже доказанной для . Система векторов как подсистема линейно независимой системы (2), линейно независима; она состоит из элементов; поэтому по предположению индукции некоторые из векторов (1) — пусть это будут векторы — могут быть заменены векторами , так что в результате получится совокупность векторов

порождающая многообразие V. Так как вектор принадлежит этому многообразию, то он является линейной комбинацией

векторов (4).

Если мы докажем, что в (5) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то это будет, прежде всего, означать, что среди векторов (1) имеется хоть один , номер которого , т. е. будет доказано неравенство . Но если бы все коэффициенты были нулями, то соотношение (5) означало бы, что система (2) линейно зависима, вопреки предположению. Итак, действительно и среди коэффициентов по крайней мере один — пусть это будет — отличен от нуля. Но тогда (5) может быть переписано в виде

означающем, что есть линейная комбинация векторов

Пусть теперь u — произвольный вектор из V. Он является линейной комбинацией векторов (4); если в этой комбинации заменить вектор его значением (6) и сделать приведение подобных членов, то вектор и также выразится в виде линейной комбинации векторов

т. e. система векторов (7) порождает все многообразие V. Теорема «о замене» доказана.

Самым важным ее утверждением является, пожалуй, неравенство , заслуживающее быть выделенным в виде особой теоремы.

Теорема 5. В векторном пространстве, порожденном т. векторами (т. е. состоящем из линейных комбинаций этих векторов), не может существовагь линейно независимой системы, состоящей более чем из m векторов.

Другими словами, размерность векторного пространства не может превосходить числа элементов какой-нибудь произвольной системы образующих этого пространства.

Теперь в двух словах доказывается

Теорема 6. Линейно независимая система образующих В векторного пространства L является его базисом.

В самом деле, пусть число элементов в данной системе образующих В есть , а размерность пространства L есть . Так как система В независима, то . С другой стороны, мы только что видели, что . Значит, , система В есть линейно независимая система, состоящая из векторов -мерного пространства, т. е. базис этого пространства,

Теорема 7. Всякая система образующих В пространства L размерности содержит базис этого пространства.

Доказательство. Скажем, что линейно независимая система векторов

принадлежащих , максимальна в В, если, пополняя ее произвольным вектором , получим уже линейно зависимую систему.

Построим в В максимальную систему. Для этого выберем в В какой-нибудь вектор (он существует, так как мы предположили, что размерность L положительна). Если линейно независимая система, состоящая из одного вектора максимальна в В, то наше построение закончено. Если нет — выбираем в В такой вектор , чтобы система была линейно независима. Если она максимальна, то построение закончено. Если нет — получаем линейно независимую систему трех векторов и так далее.

Так как пространство L имеет конечную размерность , то после конечного числа шагов придем к линейно независимой системе

векторов из В, которая будет максимальной в В.

Я утверждаю, что эта система (9) есть базис , следовательно, состоит из элементов .

На основании предыдущего для этого достаточно доказать, что (9) есть система образующих всего пространства V, т. е. что всякий вектор есть лииейная комбинация векторов (9). Пусть сначала . Тогда, в силу максимальности системы (9) в В, система линейно зависима, а так как (9) — линейно независимая система, то и есть линейная комбинация векторов (9). Пусть теперь — произвольный вектор, взятый в V; так как В есть система образующих пространства V, то вектор и есть линейная комбинация

каких-то векторов из В; но каждый из векторов, принадлежащих В, значит, и каждый из векторов есть линейная комбинация векторов . Подставляя в равенство (10) вместо каждого вектора w, его линейное выражение через векторы , мы, после приведения подобных членов, выразим и и в виде линейной комбинации векторов (9). Утверждение Доказано.

Доказано также равенство его можно формулировать так.

Теорема 8. Размерность конечномерного векторного пространства V равна максимальному числу линейно независимых векторов в произвольном множестве образующих пространства V.

Замечание 3. Попутно мы доказали и следующее предложение.

Теорема 9. Всякая линейно независимая система векторов пространства может быть дополнена до базиса пространства .