§ 6. Несколько заключительных замечаний

Еще в школьном курсе геометрии учат, что два треугольника и вообще две плоские фигуры равны между собою, если они совмещаются при наложении.

Другими словами: две плоские фигуры равны, если одна из них может быть переведена в другую посредством движения. При этом рассматривается вся группа движений, состоящая как из собственных, так и несобственных движений плоскости (мы помним «третий случай равенства треугольников», из которого вытекает, что треугольники, симметричные по отношению к некоторой прямой, считаются равными между собою).

И это с точки зрения элементарной геометрии естественно: ведь при «совмещении» двух фигур разрешается всякое их перемещение в пространстве, в частности и поворот в пространстве вокруг какой-нибудь прямой на угол я, посредством которого данный треугольник переходит в симметричный ему. Иное дело — симметрия в пространстве: две треугольные пирамиды, симметричные относительно какой-нибудь плоскости, уже нельзя совместить, перемещая их в трехмерном пространстве, а выйти за его пределы — значит выйти и за пределы физически осуществимых движений.

Всякая группа преобразований (плоскости или пространства) порождает свое понятие эквивалентности геометрических фигур: две фигуры считаются эквивалентными (по отношению к данной группе), если одна из них иереходит в другую посредством преобразования, входящего в данную группу. С другой стороны, всякая геометрическая дисциплина предполагает то иное свойственное ей понятие эквивалентности изучаемых в ней фигур.

Выдающийся немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925) впервые обратил внимание на то, что различные определения эквивалентности геометрических фигур, применяемые в тех иных областях геометрии, являются определениями эквивалентности по отношению к той или иной группе преобразований. В замечательной речи, произнесенной в 1871 г. при вступлении в должность профессора Эрлангенского университета, Клейн провозгласил общий принцип: определить какую-нибудь геометрическую дисциплину, какую-нибудь «геометрию» - значит определить некоторую группу преобразований пространства и изучать те свойства геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях, входящих в эту группу, т. е. которые, принадлежа одной какой-нибудь фигуре, принадлежат и всем фигурам, эквивалентным данной по отношению к рассматриваемой группе преобразований. Такие свойства Клейн называл инвариантными по отношению к преобразованиям данной группы или, короче, инвариантами этой группы. Клейн кратко сформулировал свою точку зрения в фразе, получившей широкую известность: «Всякая геометрия есть теория инвариантов некоторой группы преобразований». Так, метрическая геометрия изучает ортогональные инварианты, т. е. инварианты группы движений. Рассмотрим некоторые примеры таких инвариантов. Нетрудно проверить, что две параболы тогда и только тогда метрически эквивалентны, т. е. переходят друг в друга посредством движения, когда равны их параметры, а два эллипса или две гиперболы, — когда полуоси одной кривой равны полуосям другой: с точки зрения метрической геометрии эллипс и гипербола вполне характеризуются своими полуосями, а парабола — своим параметром.

Заметим теперь, что из формул (6), (7), (8) § 3 следует, что полуоси нерасиадающейся центральной кривой полностью определены числами , значит, и числами (так как как корни характеристического уравнения

выражаются через и

Ввиду уравнения (4) того же § 3 кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых, также определена (с точностью до своего положения на плоскости) числами т. е. теми же инвариантами . Заметим, однако, что для пары параллельных прямых это уже не так: при любом b для уравнения вида имеем одни и те же Наконец, параметр параболы, в силу формулы (11) из § 4, записывается в виде

т. е. выражается через и .

Итак, имеем следующий результат:

Пусть в некоторой прямоугольной координатной системе даны две (не распадающиеся на пары параллельных прямых) кривые второго порядка своими уравнениями

и пусть инварианты многочлена равны соответствующим инвариантам многочлена . Тогда кривые изометричны между собою (т. е. эквивалентны по отношению к группе движений плоскости).

Мы вернемся к этому вопросу в главе XVII, § 10.

Группа движений есть подгруппа группы преобразований подобия. Изучение инвариантов этой более широкой группы составляет содержание геометрии подобия.

Две невырождающиеся кривые второго порядка тогда и только тогда подобны между собою, когда у них один и тот же эксцентриситет е. Докажем достаточность этого условия. Случай уже был рассмотрен: подобие всех парабол между собою было установлено в § 5.

При получаем окружности, которые, очевидно, также все подобны между собою. Остаются эллипсы и гиперболы Пусть даны два эллипса своими уравнениями в канонических для них системах координат:

Любые две прямоугольные координатные системы (с одним и тем же масштабом) переходят друг в друга посредством движения собственного или несобственного; поэтому можно предположить, что у обоих эллипсов (1) и (2) одна и та же каноническая система координат. Положим

Так как то при равенстве эксцентриситетов, имеем Отсюда следует, что эллипс (1) переходит в эллипс (2) посредством подобного преобразования

Совершенно так же доказывается, что и всякие две гиперболы с одинаковым эксцентриситетом подобны между собою.

Доказательство обратного утверждения: всякие две подобные между собою невырождающиеся кривые второго порядка имеют один и тот же эксцентриситет — может быть предоставлено читателю.

Доказанные факты формулируют иногда и так:

Фокальный параметр и эксцентриситет невырождающейся кривой второго порядка образуют полную систему ее метрических инвариантов; полная система инвариантов кривой второго порядка относительно группы подобия состоит из одного инварианта — эксцентриситета кривой.

Мы вндим, что с точки зрения геометрии подобия размеры фигур совершенно несущественны. Но то, что мы при наглядном геометрическом восприятии разумеем под формой кривой, вполне улавливается группой подобия: два эллипса с одним и тем же эксцентриситетом могут иметь различные размеры, но они имеют одну и ту же форму, они в одинаковой степени растянуты, в одинаковой степени похожи или не похожи на окружность.

Инварианты группы аффинных преобразований составляют предмет изучения аффинной геометрии. Сточки зрения аффинной геометрии все эллипсы эквивалентны между собою, так же как и все гиперболы и все параболы; как мы видели в § 5, полная система аффинных инвариантов этих кривых дается уже самими их названиями, которые характеризуют, если так можно выразиться, наиболее грубые свойства их формы; действительно, все эллипсы в каком-то первом приближении похожи друг на друга.

Младший школьник, еще совершенно незнакомый с аналитической геометрией, все же скажет, что эллипс есть «вытянутая окружность», но едва ли найдет сходство между эллипсом и гиперболой.

Однако, дойдя в главе XXII до рассмотрения кривых второго порядка на проективной плоскости, мы узнаем, что парабола есть эллипс, так бесконечно растянувшийся, что он коснулся бесконечно удаленной прямой плоскости, а гипербола есть не что иное, как тот же эллипс, но пересекший бесконечно удаленную прямую и разрезанный ею на две ветви. Мы узнаем, что все три эти кривые эквивалентны между собою по отношению к группе проективных преобразований проективной плоскости — группе еще более обширной, чем группа аффинных преобразований. Обо всем этом будет речь в главах XXI и XXII.