§ 3. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой

1. Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных оргов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными.

Рис. 102.

Рис. 103.

Лемма. Пусть — два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол а можно перевести репер либо в репер , либо в репер (рис. 102 и 103).

Другими словами: репер получается из репера либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор ).

Доказательство. Репер определяет некоторое положительное направление вращения плоскости, а именно то направление, в котором угол от орта до орта равен . Обозначим через а угол от орта до орта е. Повернув репер (в его плоскости) в положительном направлении на угол а, мы совместим орт с ортом тогда орт , будучи перпендикулярен к орту , либо совместится с ортом (рис. 102), либо совместится с противоположным ему ортом — (рис. 103). Утверждение доказано.

Из доказанного следует, что относительно базиса орт имеет координаты :

тогда как для имеем две возможности: либо

т. е.

либо

и тогда

Матрица перехода от базиса к базису , имеет вид: в первом случае

во втором

Базисы называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными.

Так как в случае одноименных, в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:

Определение. Два ортогональных базиса (репера) одноименны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен.

Формулы преобразования координат даются матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:

Строки матрицы С формул (I) и (II) выражают орты , записанные их координатами по отношению к базису . Поэтому скалярное произведение этих строк должно быть равно нулю, а скалярный квадрат каждой строки — единице; матрица С должна быть, как говорят, «ортогональна по строкам», при этом каждая строка рассматривается как вектор, записанный своими координатами. И действительно, мы имеем:

Аналогичная проверка доказывает и «ортогональность по столбцам» (скалярный квадрат каждого столбца равен 1, скалярное произведение двух различных столбцов равно 0).

Пример. Берем равнобочную гиперболу в каноническом уравнении

Обозначим через , орты ее (взаимно перпендикулярных) асимптот, наклоненные к орту канонической системы координат под углами ; тогда имеем:

Внося эти выражения в уравнение

получаем

- уравнение равнобочной гиперболы, отнесенное к ее асимптотам.

2. Ортогональные матрицы. Прямоугольные (ортогональные) реперы в пространстве. Дадим следующее

Определение. Квадратная матрица С любого порядка называется ортогональной, если транспонированная к ней матрица С является ее обратной матрицей:

Элемент матрицы , стоящий на пересечении строки и столбца, есть, как мы видели,

— адъюнкта элемента матрицы С). Ортогональность матрицы С означает, что . Итак, за определение ортого нальности матрицы С может быть принято равенство

Через Е обозначаем, как всегда, единичную матрицу. Тогда равенство (1) эквивалентно каждому из равенств . Если расписать равенство , приравнивая каждый элемент матрицы СС соответствующему элементу матрицы Е, то получатся (для всех соотношения (при ), , называемые соотношениями ортогональности (точнее, ортонормальности) по строкам. Точно так же, расписывая поэлементно равенство , получим соотношения ортогональности по столбцам: .

Нами доказана

Теорема 1. Ортогональность матрицы С в смысле равенства (1) эквивалентна как ортогональности по строкам, так и ортогональности по столбцам.

Теорема 2. Детерминант всякой ортогональной матрицы С равен ± 1.

В самом деле,

но для ортогональной матрицы , значит, , и мы получаем

Геометрический смысл понятия ортогональной матрицы второго или третьего порядка заключается в следующем.

Теорема 3. Ортогональные матрицы и только они являются матрицами перехода от одного ортогонального базиса к другому.

Доказательство. Если матрица

ортогональна и в пространстве дан произвольный ортогональный базис , то, полагая

получим снова ортогональный базис в самом деле, равенство единице скалярного квадрата каждой строки матрицы С означает, что каждый из векторов есть орт, а требование равенства нулю скалярного произведения двух различных строк означает, что любые два из этих ортов перпендикулярны между собою.

Обратно: если С есть матрица перехода от ортогонального базиса к ортогональному базису , то строки матрицы С выражают векторы поэтому их скалярные квадраты равны 1, а скалярные произведения двух различных строк равны нулю — матрица С ортогональна (по строкам). Теорема 3 доказана.

Замечание 1. Координаты орта относительно репера суть направляющие косинусы этого орта, т. е. его скалярные произведения с ортами так что

и аналогично

Отсюда сразу следует, что столбцы матрицы С суть орты , записанные их координатами относительно базиса .

Ортогональность по столбцам означает, таким образом, что орты образуют ортогональный базис; транспонированная матрица С есть матрица переход» от базиса к базису (поэтому она и совпадает с обратной!).

Итак, если в пространстве дан произвольный ортогональный базис , то для всякой ортогональной матрицы С существует такой (однозначно определенный) ортогональный базис , что элементы матрицы С суть косинусы углов между векторами . В точности такое же утверждение (с заменой на верно, разумеется, и для плоскости, в чем легко убедиться, если записывать координаты , у какого-нибудь орта не в виде , а в виде скалярных произведений (где - углы между ортом и координатными ортами и ). Тогда рассуждения для плоскости будут дословно теми же, что и в случае пространства.

Однако для матриц второго порядка верна и следующая

Теорема 4. Для всякой ортогональной матрицы С второго порядка можно найти такой угол , что

и

В самом деле, матрица С есть матрица перехода от произвольного ортогонального репера к некоторому ортогональному реперу . Репер , получается из репера или поворотом на некоторый угол (угол наклона вектора к вектору , или поворотом с последующим отражением относительно прямой, несущей вектор .

Мы видели, что в первом случае матрица С имеет вид (I), во втором случае — вид (II).

Замечание 2. Пусть С — ортогональная матрица второго порядка, С ее транспонированная. Она тоже ортогональна, поэтому, но доказанному, существует такой угол , что С представима в одном из двух видов (I), .

Но тогда С, как транспонированная матрица к матрице С, имеет вид

Итак, для всякой ортогональной матрицы С может быть найден такой угол , что эта матрица примет вид (I), если , и вид (II), если .