§ 7. Разложение детерминанта n-го порядка по элементам данной строки (данного столбца)

В начале § 4 мы определили минор и адъюнкту для матриц порядка . Это определение остается в силе для любого .

Минором элемента матрицы

называется матрица, полученная из матрицы А вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых лежит элемент строки и столбца). Детерминант минора элемента в матрице А, умноженный на , называется адъюнктой элемента и обозначается через .

Докажем одно из самых важных свойств детерминантов, а именно:

9° Детерминант равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на адъюнкты этих элементов:

Достаточно доказать первое из двух равенств (1).

Возьмем какой-нибудь элемент и обозначим через его минор в матрице А.

Рассмотрим какую-нибудь молнию М матрицы А, содержащую элемент остальные молнии М образуют молнию М минора Q. Следовательно, произведение элемента на заряд молнии М равно заряду молнии М, помноженному на в какой-то степени; мы сейчас докажем: .

Пусть сначала так что

Берем произвольную молнию матрицы А, содержащую элемент :

соответствующая молния № минора Q есть

Знак молнии М есть знак перестановки

Знак молнии М есть знак перестановки

Обе перестановки (2) и (2') — и, значит, обе молнии и — имеют один и тот же знак, заряд молнии М равен произведению элемента на заряд молнии М; в то же время . Итак, для разобранного частного случая утверждение доказано.

Пусть теперь — какой-нибудь элемент матрицы А. Переставляем последовательно строку с , затем и т. д., пока наконец строка не станет на первое место. Например, если ,

то получаем последовательно матрицы

Итак, после транспозиций строк i-я строка стала на первое место, а остальные строки сохранили свой порядок.

Затем в полученной матрице мы переставляем столбец с , затем с и т. д., пока он не станет на первое место; остальные столбцы при этом сохраняют свой порядок. В результате этих транспозиций столбцов мы придем к матрице А, в элемент будет стоять уже в верхнем левом углу, минор будет по-прежнему минор .

В нашем примере , и мы получим

Матрица получается из матрицы посредством транспозиций строк и столбцов; молнии в обеих матрицах одни и те же, но заряд какой-либо молнии в одной из этих матриц получается из заряда той же молнии в другой матрице умножением на . Пусть М — какая-нибудь молния матрицы А, содержащая элемент — молния минора полученная вычеркиванием из М элемента . Латрииа Q является минором элемента как в матрице А, так и в А. Заряд молнии М в А равняется произведению на заряд молнии М. Но заряд молнии М в А есть произведение заряда той же молнии М в А на поэтому

(3)

Когда М пробегает все молнии матрицы А, содержащие элемент то пробегает все молнии минора Q, причем соответствие между молниями М и М взаимно однозначно.

Поэтому, суммируя равенства (3) по всем молниям М в А, содержащим , — или, что то же, по всем молниям М матрицы Q, — мы справа получаем , умноженное на детерминант матрицы Q, т. е. получаем . Итак,

При данном постоянном всякая молния матрицы А содержит единственный элемент . Поэтому, суммируя равенство (4) по всем , получаем слева сумму зарядов всех вообще молний матрицы А, т. е. , справа первое из равенств (1) доказано.

Сделаем следующее замечание, которое понадобится нам и сейчас, и в следующем параграфе.

9° Если в матрице

заменить элементы какой-нибудь строки, положим , произвольными числами , то на адъюнкты этих элементов эта замена не окажет (очевидно) никакого влияния, а детерминант новой матрицы будет равен

Аналогичное утверждение верно, разумеется, и для столбцов:

Утверждение следует из формул (1) (свойство 9°).

Если, в частности, положить

то (при ) в матрице после этой замены окажутся две одинаковые строки

на и на месте, так что детерминант новой матрицы окажется равным нулю.

Мы получим формулы

аналогично

выражающие свойство:

10° Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) данной матрицы на адгюнкты элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.