§ 5. Параболоиды

Эллиптическим, соответственно гиперболическим, параболоидом называется всякая поверхность, которая в некоторой (канонической для данной поверхности) прямоугольной системе координат имеет каноническое уравнение

при этом — положительные числа («параметры» параболоидов).

Общий вид эллиптического параболоида представить себе очень легко (рис. 217): он расположен весь по одну сторону от плоскости а именно в полупространстве сечения плоскостями суть кривые т. е. эллипсы

Рис. 217.

Сечеиия эллиптического параболоида (1) плоскостями суть соответственно параболы

и

— главные параболы параболоида (1); при этом параболу (4) условно назовем неподвижной, а параболу (5) - подвижной.

Сечение эллиптического параболоида (1) плоскостью есть пара мнимых сопряженных прямых с единственной вещественной точкой О («вершина параболоида»).

Вся поверхность (1) имеет вид чаши, лежащей в полупространстве О, касающейся в точке О плоскости и уходящей в бесконечность.

Все эллипсы (3), являющиеся «горизонтальными» сечениями эллиптического параболоида (1), подобны между собою — они имеют одно и то же отношение полуосей , и один и тот же эксцентриситет. В частности, если то все эти эллипсы суть окружности радиусов параболоид в этом случае есть параболоид вращения: он получается вращением параболы (расположенной в плоскости вокруг ее оси (рис. 218).

Рис. 218.

Эллиптический параболоид вещественных прямолинейных образующих не имеет. В самом деле, прямая d, параллельная плоскости лежит в некоторой плоскости z — h, следовательно, все ее точки пересечения с параболоидом (1) принадлежат эллипсу, по которому плоскость пересекает параболоид (значит, у нее не более двух общих точек с параболоидом

Если же прямая d не параллельна плоскости то целая ее полупрямая лежит в полупространстве не содержащем ни одной точки параболоида (1).

Итак, никакая прямая не может быть образующей параболоида (1).

Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида посредством скольжения одной параболы вдоль другой (система координат все время предполагается прямоугольной).

Рис. 219.

Возьмем сечение параболоида (1) плоскостью (рис. 219); получим в этой плоскости, снабженной (прямоугольной) системой координат где , кривую, уравнение которой будет

или

где

Перейдем в плоскости от системы координат к системе координат где есть точка пересечения плоскости с неподвижной параболой

Перенеся начало координат системы в точку О, мы произвели преобразование координат

в результате которого уравнение кривой (6) получило вид

кривая (6) есть та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость перенос этот можем осуществить так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе из точки О в точку О, а сама парабола при этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в плоскости, параллельной плоскости . Этот результат мы можем сформулировать так:

Эллиптический параболоид (заданный уравнением есть поверхность, описываемая при движении одной параболы (5) вдоль другой, неподвижной (4) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвижная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси ).

Рис. 220.

Аналогичный способ построения применим и к гиперболическому параболоиду (рис. 220), поверхности, наглядное представление о которой при первом знакомстве с ней обычно требует от учащегося некоторого небольшого усилия.

Сечениями гиперболического параболоида (2) с плоскостями снова являются две «главные» параболы:

«неподвижная» парабола

и подвижная

обращенные теперь вогнутостью в противоположные стороны: неподвижная —

«вверх» (т. е. в положительном направлении оси z), а подвижная — «вниз» (в отрицательном направлении оси z). Сечение плоскостью имеет в системе координат уравнение

или

где

или, наконец, после перенесения начала координат в точку (лежащую на параболе ), уравнение

Последнее уравнение показывает, что кривая (10) есть та же подвижная парабола (9), только сдвинутая параллельно себе посредством скольжения ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в точку . Отсюда следует, что гиперболический параболоид (заданный в прямоугольной системе координат уравнением ) есть поверхность, описываемая подвижной параболой при ее движении вдоль неподвижной параболы (4) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными себе самим, при этом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны: неподвижная — вогнутостью «вверх», т. е. в положительном направлении оси , а подвижная — «вниз».

Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла.

Рис. 221.

Сечение гиперболического параболоида плоскостью есть пара (вещественных) прямых (рис. 221)

(являющихся парой образующих гиперболического параболоида).

Сечение плоскостью есть гипербола, уравнение которой есть (в системе координат где — точка пересечения оси с плоскостью а векторы те же, что и в исходной системе )

фокальная ось этой гиперболы направлена по вектору т. е. параллельно оси абсцисс, а при — параллельно оси ординат так что проекции на плоскость гипербол, получающихся в сечении параболоида (2) плоскостями

являются сопряженными гиперболами в плоскости .

При эти гиперболы имеют неограниченно возрастающие полуоси отношение которых постоянно и равно так что все гиперболы, являющиеся горизонтальными сечениями гиперболического параболоида, подобны между собою.